§ 48. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном

Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длины (рис. 48.1). Допустим, что этот контур находится во внешнем магнитном поле, которое мы будем предполагать однородным и перпендикулярным к плоскости контура. При указанных на рис. 48.1, а направлениях тока и поля сила F, действующая на перемычку, будет направлена вправо и равна

Прперемещении перемычки вправо на эта сила совершит положительную работу

где — заштрихованная площадь (см. рис. 48.1, а).

Рис. 47.3.

Выясним, как изменяется при перемещении перемычки поток магнитнои индукции Ф через площадь контура. Условимся при вычислении потока через площадь контура с током всегда брать в качестве в выражении

положительную нормаль, т. е. нормаль, образующую с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см. § 46). Тогда в случае, изображенном на рис. а, поток будет положительным и равным (S — площадь контура). При перемещении перемычки вправо площадь контура получает положительное приращение

Рис. 48.1.

В результате поток также получает положительное приращение Поэтому выражение (48.1) можно представить в виде

При направлении поля на нас (рис. 48.1, б) сила, действующая на перемычку, направлена влево.

Рис. 48.2

Поэтому при перемещении перемычки вправо на магнитная сила совершает отрицательную работу

В этом случае поток через контур равен . При увеличении площади контура на dS поток получает приращение Следовательно, выражение (48.3) также можно записать в виде (48.2).

Величину в выражении (48.2) можно трактовать как поток через площадь, описанную перемычкой при ее движении.

Соответственно можно сказать, что работа, совершаемая магнитной силой над участком контура с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока через поверхность, описанную этим участком при своем движении.

Формулы (48.1) и (48.3) можно объединить в одно векторное выражение. Для этого сопоставим перемычке вектор I, имеющий направление тока (рис. 48.2). Независимо от направления вектора В (от нас или на нас), силу, действующую на перемычку, можно представить в виде

При перемещении перемычки на сила совершает работу

Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей (см. формулу (2.34) 1-го тома). В результате получим

Из рис. 48.2 видно, что векторное произведение равно по величине площади описанной перемычкой при ее движении, и имеет направление положительной нормали . Следовательно,

В случае, изображенном на рис. 48.2, а, и мы приходим к формуле (48.1). В случае, изображенном на рис. 48.2, б, , и мы приходим к формуле (48.3).

Выражение определяет приращение магнитного потока через контур, обусловленное перемещением перемычки. Таким образом, формулу (48.5) можно записать в виде (48.2). Однако формула (48.5) имеет преимущество перед (48.2), поскольку из нее «автоматически» получается знак а следовательно, и знак .

Рассмотрим жесткий или деформируемый контур, который, находясь в магнитном поле, перемещается из некоторого исходного положения в бесконечно мало отличающееся от исходного конечное положение. Силу тока в контуре будем считать при этом перемещении постоянной. Пусть элемент контура претерпевает произвольное перемещение, которое можно представить как смещение параллельно самому себе на отрезок и последующий поворот на угол (рис. 48.3). При этом элемент опишет площадь, равную

Рис. 48.3.

Второе слагаемое более высокого порядка малости, чем первое. Совершаемая над работа пропорциональна магнитному потоку через описанную поверхность (см. выше). Поэтому работа при повороте элемента будет более высокого порядка малости, чем работа при поступательном перемещении, и ею можно пренебречь.

Таким образом, при вычислении работы можно пренебречь поворотом элемента на угол и считать совершаемую магнитной силой над элементом контура работу равной

(48.6)

Здесь В — магнитная индукция в том месте, где находится элемент контура

Осуществив в (48.6) циклическую перестановку сомножителей, получим

Векторное произведение равно по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах т. е. площади описываемой элементом при его перемещении. Направление векторного произведения совпадает с направлением положительной нормали к площадке Следовательно,

где приращение магнитного потока через контур, обусловленное перемещением элемента контура

Приняв во внимание равенство (48.8), напишем (48.7) в виде

Просуммировав выражение (48.9) по всем элементам контура, получим выражение для работы магнитных сил при произвольном бесконечно малом перемещении контура:

(48.10)

( — полное приращение потока через контур).

Чтобы найти работу, совершаемую при конечном произвольном перемещении контура, просуммируем выражение (48.10) по всем элементарным перемещениям:

(48.11)

Здесь — значения магнитного потока через контур в начальном и конечном положениях. Таким образом, работа, совершаемая магнитными силами над контуром, равна произведению силы тока на приращение магнитного потока через контур.

В частности, при повороте плоского контура в однородном поле из положения, в котором векторы и В направлены в противоположные стороны (в этом положении ), в положение, при котором эти векторы совпадают по направлению (в этом положении ), магнитные силы совершают над контуром работу

Тот же результат получается с помощью выражения (46.10) для потенциальной энергии, контура в магнитном поле:

Отметим, что работа (48.11) совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего неизменным ток в контуре. В § 61 будет показано, что при изменениях магнитного потока, пронизывающего контур, в этом контуре возникает э. д. с. индукции Следовательно, источник, кроме работы, затрачиваемой на выделение ленц-джоулева тепла, должен совершать дополнительную работу против э. д. с. индукции, определяемую выражением

которое совпадает с (48.11).