§ 89. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления

В цепи, содержащей индуктивность и емкость, могут возникать электрические колебания. Поэтому такая цепь называется колебательным контуром. На рис. 89.1, а изображены последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, не обладающем активным сопротивлением.

Колебания в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд, либо возбудив в индуктивности ток (например, путем выключения внешнего магнитного поля, пронизывавшего витки катушки). Воспользуемся первым способом.

Рис. 89.1.

Присоединим отключенный от индуктивности конденсатор к источнику напряжения. Это приведет к возникновению на обкладках разноименных зарядов и (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна (см. формулу (29.2)). Если затем отключить источник напряжения и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна (см. формулу (67.4)).

Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и будет оставаться постоянной.

Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (стадия 2, начиная с этого момента ток течет за счет э. д. с. самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается, и, когда заряды на обкладках достигнут первоначального значения q, сила тока станет равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном направлении (стадии 4 и 5), после чего система приходит в исходное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе процесса периодически изменяются (т. е. колеблются) заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

На рис. 89.1, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведение маятника внешней силой из положения равновесия и сообщение ему первоначального отклонения х. При этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пружины, равная Стадии 2 соответствует прохождение маятника через положение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инерции. К этому времени энергия маятника полностью переходит в кинетическую и определяется выражением Сопоставление дальнейших стадий предоставляем читателю.

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии упругой деформации, а энергия, магнитного поля аналогична кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы величина, обратная емкости — роль жесткости k. Наконец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равновесия х, а силе тока скорость х. Ниже мы увидим, что аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяется и на описывающие их математические уравнения.

Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления. Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор (рис. 89.2). Тогда

Напишем для цепи выражение закона Ома

(см. (35.3)).

В нашем случае Подстановка этих значений в (89.2) дает

Наконец, заменив через q (см. (89.1)), получим уравнение

Если ввести обозначение

уравнение (89.4) принимает вид

хорошо знакомый нам из учения о механических колебаниях (см. формулу (53.1) 1-го тома). Решением этого уравнения является функция

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой выражением (89.5). Эта частота называется собственной частотой контура (она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора). Для периода колебаний получается так называемая формула Томсона:

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем

Продифференцировав функцию (89.7) по времени, получим выражение для силы тока

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на

Сопоставление формул (89.7) и (89.9) с формулой (89.10) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот. Это соотношение между зарядом и током мы уже установили ранее, основываясь на энергетических соображениях.

Рис. 89.2.

Из формул (89.9) и (89.10) следует, что

Взяв отношение этих амплитуд и заменив по формуле (89.5), получим

(89.11)

Эту формулу можно получить также, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля должно быть равно наибольшему значению энергии магнитного поля