§ 14. Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса
Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей.
Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. Прежде чем приступить к рассмотрению этих примеров, введем понятия поверхностной и линейной плотностей заряда.
Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тела, распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности о, которая определяется выражением
Здесь 
— заряд, заключенный в слое площади 
Под 
подразумевается физически бесконечно малый участок поверхности.
Если заряд распределен по объему или поверхности цилиндрического тела (равномерно в каждом сечении), используется линейная плотность заряда
— длина физически бесконечно малого отрезка цилиндра, 
заряд, сосредоточенный на этом отрезке).
Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.
Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова и равна а; для определенности будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости. Действительно, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно, нет никаких оснований к тому, чтобы вектор Е отклонялся в какую-либо сторону от нормали к плоскости. Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напря-. женность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.
Представим себе мысленно цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины 
, расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 14.1). В силу симметрии 
Применим к поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку 
в каждой ее точке равна нулю. Для оснований 
совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через поверхность равен 
Внутри поверхности заключен заряд a 
. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие
из которого
Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра. Это означает, что на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Вид линий напряженности показан на рис. 14.2. Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора Е и линий напряженности изменится на обратное.
Рис. 14.1.
Рис. 14.2.
Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку то полученный выше результат будет справедливым только для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (на рис. 14.3 область этих точек обведена пунктирной кривой).
Рис. 14.3.
Рис. 14.4
По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости.
Характер поля на больших расстояниях легко представить, если учесть, что на расстояниях, значительно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда.
