§ 20. Примеры на вычисление поля в диэлектриках

Чтобы выяснить смысл величин D и рассмотрим несколько примеров полей в диэлектриках.

Поле внутри плоской пластины. Рассмотрим две бесконечные параллельные разноименно заряженные плоскости. Пусть создаваемое ими в вакууме поле характеризуется напряженностью и смещением Внесем в это поле пластину из однородного изотропного диэлектрика и расположим ее так, как показано на рис. 20.1. Под действием моля диэлектрик поляризуется, и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности о. Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого согласно формуле (14.4) равна Е —

Вне диэлектрика в данном случае Напряженность поля равна

Оба поля направлены навстречу друг другу, следовательно, внутри диэлектрика

Вне диэлектрика

Рис. 20.1.

Поляризация диэлектрика обусловлена полем (20.1). Это поле перпендикулярно к поверхностям пластины. Поэтому и в соответствии с (18.2) . Подставив это значение в формулу (20.1), получим

откуда

Итак, в рассматриваемом случае диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз ослабляется поле в диэлектрике.

Умножив (20.2) на получим электрическое смещение внутри пластины

Таким образом, электрическое смещение внутри пластины совпадает с электрическим смещением внешнего поля Заменив в (20.3) через получим, что

Чтобы найти , выразим в (20.2) Е и через плотности зарядов

Отсюда

Рис. 20.1 выполнен в предположении, что . В соответствии с этим густота линий Е в диэлектрике в три раза меньше, чем вне пластины. Линии проведены на одинаковых расстояниях друг от друга, поскольку поле однородно. В данном случае о можно найти, не прибегая к формуле (20.5). Действительно, раз напряженность поля внутри пластины в три раза меньше, чем вне ее, то из трех линий напряженности, начинающихся (или заканчивающихся) на сторонних зарядах, две должны заканчиваться (соответственно начинаться) на связанных зарядах. Отсюда вытекает, что плотность связанных зарядов должна быть равна 2/3 плотности сторонних зарядов.

В гауссовой системе напряженность Е, создаваемая связанными зарядами а, равна . Поэтому соотношение (20.1) имеет вид

Поверхностная плотность о связана с напряженностью Е соотношением Следовательно, можно написать, что

Отсюда

Таким образом, диэлектрическая проницаемость , так же как и в СИ, показывает, во сколько раз ослабляется поле внутри диэлектрика. Следовательно, значения в СИ и в гауссовой системе совпадают. Отсюда, приняв во внимание (19.5) и (19.13), заключаем, что диэлектрическая восприимчивость в гауссовой системе и в СИ отличаются друг от друга множителем

Поле внутри шарового слоя.

Окружим заряженную сферу радиуса R концентрическим шаровым слоем из однородного изотропного диэлектрика (рис. 20.2). На внутренней поверхности слоя появится связанный заряд распределенный с плотностью на наружной — заряд распределенный с плотностью Знак заряда совпадает со знаком заряда q сферы, знак ему противоположен. Заряды создают на расстоянии , превышающем соответственно поле, совпадающее с полем точечного заряда такой же величины (см. формулу (14.7)). Внутри поверхностей, по которым они распределены, заряды поля не создают.

Следовательно, напряженность поля Е внутри диэлектрика равна

и противоположна по направлению напряженности поля Результирующее поле в диэлектрике

убывает по закону Поэтому можно утверждать, что

где — напряженность поля в диэлектрике в непосредственной близости к внутренней поверхности слоя.

Рис. 20.2.

Именно эта напряженность определяет величину

(в каждой точке поверхности ).

Подставив выражение (20.8) в формулу (20.7), получим

Отсюда находим, что внутри диэлектрика и, следовательно, с формулами (20.2) и (20.3)).

Поле внутри диэлектрика изменяется по закону Поэтому имеет место соотношение Отсюда вытекает, что Следовательно, поля, создаваемые этими зарядами, на расстояниях, превышающих взаимно уничтожают друг друга, так что вне шарового слоя

Положив равным придем к случаю заряженной сферы, погруженной в безграничный однородный и изотропный диэлектрик. Напряженность поля вне такой сферы равна

Такова же будет напряженность поля, создаваемого в безграничном диэлектрике точечным зарядом.

Оба рассмотренных примера характерны тем, что диэлектрик был однородным и изотропным, а ограничивающие его поверхности совпадали с эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов. Полученный нами в этих случаях результат является общим. Если однородный и изотропный диэлектрик полнвстью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, то вектор электрического смещения совпадает с вектором напряженности поля сторонних зарядов, умноженным на и, следовательно, напряженность поля внутри диэлектрика в раз меньше, чем напряженность поля сторонних зарядов.

Рис. 20.3.

Рис. 20.4.

Если упомянутые условия не соблюдаются, векторы D и не совпадают. На рис. 20.3 показано поле в пластине диэлектрика, перекошенной относительно плоскостей, несущих сторонние заряды. Вектор Е перпендикулярен к граням пластины, поэтому Е и неколлинеарны. Вектор D направлен так же, как Е, следовательно, D и не совпадают по направлению. Можно показать, что они не совпадают и по величине.

В рассмотренных выше примерах из-за специально выбранной формы диэлектрика поле Е было отлично от нуля только внутри диэлектрика. В общем случае Е может быть отлично от нуля и за пределами диэлектрика. Поместим в первоначально однородное поле стержень из диэлектрика (рис. 20.4).

Вследствие поляризации на концах стержня образуются связанные заряды противоположных знаков. Их поле вне стержня эквивалентно полю диполя (линии Е показаны на рисунке пунктиром). Легко сообразить, что результирующее поле Е вблизи концов стержня больше поля