§ 9. Диполь

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов и , расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя.

Вычислим сначала потенциал, а затем напряженность поля диполя. Это поле обладает осевой симметрией. Поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той же, причем вектор Е лежит в этой плоскости. Положение точки относительно диполя будем характеризовать с помощью радиуса-вектора либо с помощью полярных координат (рис. 9.1). Введем вектор I, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Положение заряда -q относительно центра диполя определяется вектором а, заряда —q — вектором —а. Очевидно, что . Расстояния до данной точки от зарядов обозначим соответственно через

Ввиду малости а по сравнению с можно положить приближенно, что

Потенциал в точке, определяемой радиусом-вектором , равен

Произведение можно заменить через Разность согласно формулам (9.1) равна Следовательно,

где

— характеристика диполя, называемая его электрическим моментом. Вектор направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному (рис. 9.2).

Из формулы (9.2) вытекает, что поле диполя определяется его электрическим моментом . Ниже мы увидим, что и поведение диполя во внешнем электрическом поле также определяется его электрическим моментом .

Рис. 9.1

Рис. 9.2

Сравнение с выражением (6.7) показывает, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее (как , чем потенциал поля точечного заряда (который изменяется по закону ).

Из рис. 9.1 видно, что Поэтому выражение (9.2) можно написать следующим образом:

Чтобы найти напряженность поля диполя, вычислим по формуле (8.5) проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления. Одно из них определяется движением точки, вызванным изменением расстояния (при фиксированном Ф), второе — движением точки, обусловленным изменением угла Ф (при фиксированном ; см. рис. 9.1). Первая проекция получается путем дифференцирования выражения (9.4) по :

Вторую проекцию (обозначим ее ) получим, взяв отношение приращения потенциала получающегося при возрастании угла О на к расстоянию на которое перемещается при этом конец отрезка (в этом случае фигурирующее в формуле равно Таким образом,

Подставив значение производной от функции (9.4) по получим

Сумма квадратов выражений (9.5) и (9.6) дает квадрат вектора Е (см. рис. 9.1):

Отсюда

Положив в (9.7) , получим напряженность на оси диполя:

Вектор направлен по оси диполя. Это согласуется с осевой симметрией задачи. Из формулы (9.5) следует, что при и при Это означает, что в любом случае вектор имеет направление, совпадающее с направлением от — q к (т. е. с направлением ). Поэтому формулу (9.8) можно написать в векторном виде:

Положив в (9.7) , получим напряженность на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к его оси:

Согласно формуле (9.5) при проекция равна иулю. Следовательно, вектор параллелен оси диполя. Из формулы (9.6) следует, что при проекция положительна. Это означает, что вектор направлен в сторону возрастания угла т. е. антипараллельно вектору .

Характерным для напряженности поля диполя является то обстоятельство, что она убывает с расстоянием от диполя как т. е. быстрее, чем напряженность поля точечного заряда (убывающая как ).

На рис. 9.3 показаны линии Е поля диполя. Согласно формуле (9.4) при потенциал обращается в нуль для всех г. Таким образом, все точки плоскости, перпендикулярной к оси диполя и проходящей через его середину, имеют нулевой потенциал.

Рис. 9.3.

Рис. 9.4.

Это можно было предвидеть заранее, поскольку расстояния от зарядов -f q и —q до любой точки этой плоскости одинаковы.

Теперь рассмотрим поведение диполя во внешнем электрическом поле. Если диполь поместить в однородное электрическое поле, образующие диполь заряды и —q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил (рис. 9.4). Эти силы образуют пару, плечо которой равно а, т. е. зависит от ориентации диполя относительно поля. Модуль каждой из сил равен Умножив его на плечо, получим величину момента пары сил, действующих на диполь:

( — электрический момент диполя).

Легко сообразить, что формула (9.11) может быть написана в векторном виде:

Момент сил (9.12) стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент установился по направлению поля.

Найдем потенциальную энергию, которой обладает диполь во внешнем электрическом поле. Согласно формуле (6.9) эта энергия равна

Здесь — значения потенциала внешнего поля в тех точках, где помещаются заряды

Потенциал однородного поля убывает линейно в направлении вектора Е. Приняв это направление за ось х (рис. 9.5), можно написать, что

Рис. 9.5.

Рис. 9.6.

Из рис. 9.5 видно, что разность равна приращению потенциала на отрезке :

Подставив это значение в формулу (9.13), получим, что

В этой формуле а есть угол между векторами и Е, поэтому ее можно написать в виде

Заметим, что это выражение не учитывает энергию взаимодействия зарядов и образующих диполь.

Мы получили формулу (9.15), считая для простоты поле однородным. Однако эта формула справедлива и для неоднородного поля.

Рассмотрим диполь, находящийся в неоднородном поле, обладающем симметрией относительно оси

Пусть центр диполя лежит на этой оси, причем электрический момент диполя образует с осью угол а, - отличный от (рис. 9.6). В этом случае силы, действующие на заряды диполя, не одинаковы по величине. Поэтому, кроме вращательного момента, на диполь будет действовать сила, стремящаяся переместить его в направлении оси Чтобы получить значение этой силы, воспользуемся формулой (8.1), согласно которой

В соответствии с (9.14)

(ориентацию диполя относительно вектора Е считаем неизменной: ).

Для точек оси производные Е по у и z равны нулю. Соответственно Таким образом, отлична от нуля лишь компонента силы Она равна

Этот результат можно получить, приняв во внимание, что напряженность поля в точках, где помещаются заряды и —q (см. рис. 9.6), отличается на величину . Соответственно разность сил, действующих на заряды, равна , что совпадает с (9.16)

При определяемая формулой (9.16) величина положительна. Это означает, что под действием силы диполь втягивается в область более сильного поля (см. рис. 9.6). При диполь выталкивается из поля.

В случае, изображенном на рис. 9.7, у силы, действующей на диполь, отлична от нуля лишь компонента которая равна

Слева от начала координат положительна, а справа — отрицательна. Отсюда заключаем, что а следовательно и отрицательна. Таким образом, сила имеет направление, показанное на рисунке, — диполь втягивается в поле.

Отметим, что подобно тому, как дает проекцию на ось силы, действующей на систему, производная от выражения (9.14) по а, взятая с обратным знаком, дает проекцию вращательного момента на «ось» .

Рис. 9.7.

Знак минус получился потому, что «ось» а и момент N имеют противоположные направления (см. рис. 9.4).