§ 124. Многолучевая интерференция

До сих пор мы рассматривали двухлучевую интерференцию. Теперь исследуем случай, когда интерферирует много световых лучей.

Допустим, что в данную точку экрана приходит N лучей одинаковой интенсивности, причем фаза каждого следующего луча сдвинута относительно фазы предыдущего на одну и ту же величину .

Представим возбуждаемые лучами колебания в виде экспонент:

Результирующее колебание определяется формулой

Полученное выражение представляет собой сумму N членов гео метрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем, равным Следовательно,

где

есть комплексная амплитуда, которую можно представить в виде

(124.2)

(А — обычная амплитуда результирующего колебания, а — его начальная фаза).

Произведение величины (124.2) на ее комплексно сопряженную дает квадрат амплитуды результирующего колебания:

(124.3)

Подставив в (124.3) значение (124.1) для А, получим следующее выражение для квадрата амплитуды:

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, интенсивность, возникающая при интерференции N рассматриваемых лучей, определяется выражением

— коэффициент пропорциональности, — интенсивность, создаваемая каждым из лучей в отдельности).

При значениях

(124.6)

выражение (124.5) становится неопределенным.

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя:

Полученное выражение также оказывается неопределенным. Поэтому применим правило Лопиталя еще раз:

Таким образом, при (или разностях хода ) результирующая интенсивность оказывается равной

(124.7)

Такой результат можно было предвидеть заранее. Действительно, в точки, для которых все колебания приходят в одинаковой фазе. Следовательно, результирующая амплитуда оказывается в N раз больше амплитуды отдельного колебания, а интенсивность в раз больше интенсивности отдельного колебания.

Назовем места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая формулой (124.7), главными максимумами. Их положение определяется условием (124.6). Число называется порядком главного максимума. Из выражения (124.5) следует, что в промежутке между двумя соседними главными максимумами располагается минимум интенсивности. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например, промежуток между максимумами нулевого и первого порядка. В этом промежутке б изменяется от нуля до а от нуля до Знаменатель выражения (124.5) всюду, кроме концов промежутка, отличен от нуля, причем в середине промежутка достигает наибольшего значения, равного единице. Величина принимает в рассматриваемом промежутке все значения от нуля до При значениях числитель выражения (124.5) становится равным нулю. Это и будут минимумы интенсивности. Их положения отвечают значениям , равным

(124.8)

В промежутках между минимумами располагаются вторичных максимумов. Наибольшей интенсивностью обладают вторичные максимумы, ближайшие к главным максимумам. Вторичный максимум, ближайший к главному максимуму нулевого порядка, лежит между первым и вторым минимумами. Этим минимумам отвечают значения равные

Следовательно, рассматриваемому вторичному максимуму соответствует Подстановка этого значения в формулу (124.5) дает

Числитель равен единице. При большом N можно положить синус в знаменателе равным его аргументу Тогда

В числителе получилась интенсивность главного максимума (см. {124.7)). Таким образом, при большом N ближайший к главному максимуму вторичный максимум имеет интенсивность в раза меньшую, чем интенсивность главного максимума. Остальные вторичные максимумы оказываются еще слабее.

На рис. 124.1 изображен график функции для N = 10. Для сравнения пунктиром показан график интенсивности для N = 2 (двухлучевая интерференция; см. кривую ) на рис. 119.2).

Рис. 124.1.

Из рисунка видно, что с увеличением числа интерферирующих лучей главные максимумы делаются все более узкими. Вторичные максимумы настолько слабы, что практически интерференционная картина имеет вид узких ярких линий на темном фоне.

Теперь рассмотрим интерференцию очень большого числа лучей, интенсивность которых убывает в геометрической прогрессии. Складываемые колебания имеют вид

(124.9)

( — постоянная величина, меньшая единицы).

Результирующее колебание описывается формулой

Воспользовавшись выражением для суммы членов геометрической прогрессии, получим

Таким образом, комплексная амплитуда равна

(124.10)

Если N очень велико, комплексным числом можно пренебречь по сравнению с единицей (для примера укажем, что Тогда выражение (124.10) упрощается следующим образом:

Умножив это выражение на комплексно с ним сопряженное, получим квадрат обычной амплитуды результирующего колебания:

Отсюда

где — интенсивность первого (наиболее интенсивного) луча.

При значениях

(124.12)

выражение (124.11) имеет максимумы, равные

(124.3)

В промежутках между максимумами функция изменяется монотонно, достигая в середине промежутка значения, равного

Таким образом, отношение интенсивности в максимуме к интенсивности в минимуме

(124.15)

оказывается тем больше, чем ближе к единице, т. е. чем медленнее происходит убывание интенсивности интерферирующих лучей.

На рис. 124.2 показан график функции (124.11) для . Из рисунка следует, что интерференционная картина имеет вид узких резких линий на практически темном фоне В отличие от рис 124.1 вторичные максимумы отсутствуют.

Рис. 124.2.

Практически случай большого числа лучей с убывающей интенсивностью осуществляется в интерферометре Фабри — Перо. Этот прибор состоит из двух стеклянных или кварцевых пластинок, разделенных воздушным промежутком (рис. 124.3). Тщательной обработкой добиваются того, чтобы неровности внутренних поверхностей пластинок не превышали нескольких сотых долей длины световой волны. Затем на эти поверхности наносятся частично прозрачные металлические слои или диэлектрические пленки 1. Внешние поверхности пластинок делают слегка скошенными относительно внутренних, чтобы устранить блики, обусловленные отражением света от этих поверхностей. В первоначальной конструкции интерферометра одна из пластинок могла перемещаться относительно другой неподвижной пластинки с помощью микрометрического винта.

Рис. 124.3.

Однако ненадежность такой конструкции привела к тому, что она вышла из употребления. В современных конструкциях пластинки закреплены неподвижно. Параллельность внутренних рабочих плоскостей достигается тем, что между пластинками устанавливается кольцо из инвара или кварца Это кольцоимеет с каждой стороны по три выступа с тщательно отшлифованными торцами. Пластинки прижимаются к кольцу пружинами. Такое устройство надежно обеспечивает строгую параллельность внутренних плоскостей пластинок и постоянство расстояния между ними. Подобный интерферометр с фиксированным расстоянием между пластинками называется эталоном Фабри — Перо.

Рассмотрим, что происходит с лучом, вошедшим в зазор между пластинками (рис. 124.4). Пусть интенсивность вошедшего луча равна

Рис. 124.4.

В точке этот луч разделяется на вышедший наружу луч и отраженный луч V Если коэффициент отражения от поверхности пластинки равен р, то интенсивность луча будет равна а интенсивность отраженного луча . В точке луч разделяется на два. Показанный пунктиром луч выйдет из игры, а отраженный луч будет иметь интенсивность . В точке луч разделится на два луча — вышедший наружу луч 2 с интенсивностью и отраженный луч 2, и т. д. Таким образом, для интенсивностей вышедших из прибора лучей 1,2,3 и т. д. имеет место соотношение

Соответственно для амплитуд колебаний получается соотношение

Колебание в каждом из лучей 2, 3, 4,... отстает по фазе от колебания в предыдущем луче на одну и ту же величину , определяемую оптической разностью хода , возникающей на пути либо и т. д. (см. рис. 124.4).

Рис. 124.5.

Из рисунка видно, что где — угол падения лучей на отражающие слои.

Если собрать лучи 1, 2, 3,... с помощью линзы в точке Р фокальной плоскости (см. рис. 124.3), то колебания, создаваемые этими лучами, будут иметь вид (124.9). Следовательно, интенсивность в точке Р определяется формулой (124.11), в которой имеет смысл коэффициента отражения, а

При пропускании сквозь прибор расходящегося пучка света в фокальной плоскости линзы возникают полосы равного наклона, имеющие вид резких колец (рис. 124.5).

Интерферометр Фабри — Перо используется в спектроскопии для изучения тонкой структуры спектральных линий. Он нашел также широкое применение в метрологии для сравнения длины стандартного метра с длинами волн отдельных спектральных линий.