§ 71. Уравнения Максвелла
Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света. Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.
Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.
Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (69.5) и (51.3):
Первое из этих уравнений связывает значение Е с изменениями вектора В во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного полй, т. е. магнитных зарядов.
Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (70.10) и (19.8):
Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора D служат сторонние заряды.
Уравнения (71.1) — (71.4) представляют собой уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Отметим, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля: Е и В. Во второй же паре фигурируют только вспомогательные величины D и Н.
Каждое из векторных уравнений (71.1) и (71.3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись формулами (11.14) и (11.25) — (11.27), представим уравнения Максвелла в скалярной форме:
Всего получилось 8 уравнений, в которые входят 12 функций (по три компоненты векторов Е, В, D, Н). Поскольку число уравнений меньше числа неизвестных функций, уравнений (71.1) — (71.4) недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов.
Чтобы осуществить расчет полей, нужно дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими D и j с Е, а также Н с В. Эти уравнения имеют вид
(71.10)
(см. (19.6), (52.14) и (34.3)).
Совокупность уравнений (71.1) — (71.4) и (71.9) —(71.11) образует основу электродинамики покоящихся сред.
Уравнения
(71.12)
(первая пара) и
(71.14)
(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.
Уравнение (71.12) получается путем интегрирования соотношения (71.1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (71.14) получается таким же способом из соотношения (71.3). Уравнения (71.13) и (71.15) получаются из соотношений (71.2) и (71.4) путем интегрирования по произвольному объему V с последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского — Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V.
