§ 91. Вынужденные электрические колебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э. д. с. или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (рис. 91.1).

Рис. 91.1.

Это напряжение нужно прибавить к э. д. с. самоиндукции. В результате формула (90.1) примет вид

Произведя преобразование, получим уравнение

Здесь определяются формулами (89.5) и (90.3).

Уравнение (91.3) совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний (см. формулу (60.1) 1-го тома). Частное решение этого уравнения имеет вид

где

(см. формулу (60.9) 1-го тома).

Подстановка значений дает

Общее решение получится, если к частному решению (91.4) прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения. Это решение было получено в предыдущем параграфе (см. формулу (90.5)); оно содержит экспоненциальный множитель поэтому по прошествии достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (91.4).

Продифференцировав выражение. (91.4) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

. Запишем это выражение в виде

где есть сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (91.1)). В соответствии с (91.6)

Из этой формулы следует, что ток отстает по фазе от напряжения в том случае, когда и опережает напряжение при условии, что Согласно (91.5)

Представим соотношение (91.2) в виде

(91.10)

Произведение равно напряжению на активном сопротивлении, есть напряжение на конденсаторе выражение определяет напряжение на индуктивности . С учетом этого можно написать

(91.11)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне (см. рис. 91.1).

В соответствии с (91.7)

(91.12)

Разделив выражение (91.4) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

(91.13)

Здесь

(см. (91.9)). Умножив производную функцию (91.7) на L, получим напряжение на индуктивности:

Здесь

(91.16)

Сопоставление формул (91.7), (91.12), (91.13) и (91.15) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на а напряжение на индуктивности опережает ток на Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (см. § 55 1-го тома). Напомним, что гармоническое колебание (или гармоническую функцию) можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебания. Возьмем в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов. Тогда получается диаграмма, изображенная на рис. 91.2. Согласно (91.11) три функции в сумме должны быть равны приложенному напряжению U. В соответствии с этим напряжение U изображается на диаграмме вектором, равным сумме векторов Заметим, что из прямоугольного треугольника, образованного на диаграмме векторами и разностью легко получить формулу (91.9).

Резонансная частота для заряда q и напряжения на конденсаторе равна

(91.17)

(см. формулу (60.17) 1-го тома).

Резонансные кривые для изображены на рис. 91.3 (резонансные кривые для q имеют такой же вид). Они сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний (см. рис. 60.3 1-го тома).

При резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой — напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 91.4. Они соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при (см. (91.9)).

Рис. 91.2.

Рис. 91.3.

Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура

Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси равен нулю — при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

При малом затухании (при ) резонансную частоту для напряжения можно положить равной (см. (91.17)). Соответственно можно считать, что Согласно формуле (91.14) отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе амплитуде внешнего напряжения будет в этом случае равно

(мы положили в (91.14) ). Здесь Q — добротность контура (см. (90.13)). Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превысить приложенное напряжение.

Добротность контура определяет также остроту резонансных кривых. На рис. 91.5 показана одна из резонансных кривых для силы тока в контуре.

По вертикальной оси отложены не значения соответствующие данной частоте, а отношение при резонансе). Рассмотрим ширину кривой До), взятую на высоте 0,7 (отношению амплитуд токов, равному 0,7, соответствует отношение мощностей, равное Можно показать, что отношение этой ширины к резонансной частоте равно величине, обратной добротности контура:

(91.20)

Напомним, что формулы (91.19) и (91.20) верны лишь при больших значениях Q, т. е. в случае когда затухание свободных колебаний в контуре мало.

Рис. 91.4.

Рис. 91.5.

Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

Настроив контур на одну из частот и т. д. (т. е. подобрав соответствующим образом его параметры ), можно получить на конденсаторе напряжение, в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.