§ 32. Уравнение непрерывности

Рассмотрим в некоторой среде, в которой течет ток, воображаемую замкнутую поверхность S (рис. 32.1). Выражение дает заряд, выходящий в единицу времени из объема V, ограниченного поверхностью S. В силу сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда q, содержащегося в данном объеме:

Представив q в виде получим соотношение

Под знаком интеграла мы написали частную производную по t, поскольку плотность заряда может зависеть не только от времени, но и от координат (интеграл есть функция только времени).

Рис. 32.1.

Рис. 32.2.

Преобразуем левую часть равенства (32.1) по теореме Остроградского—Гаусса. В результате получим

Равенство (32.2) должно выполняться при произвольном выборе объема V, по которому берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если в каждой точке пространства выполняется условие

Соотношение (32.3) называют уравнением непрерывности. Оно (равно как и уравнение (32.1)) выражает закон сохранения заряда. Согласно (32.3) в точках, которые являются источниками вектора j, происходит убывание заряда.

В случае стационарного тока потенциал в разных точках, плотность заряда и другие величины являются неизменными. Следовательно, для стационарного (т. е. постоянного) тока уравнение (32.3) имеет вид

Таким образом, в случае постоянного тока вектор j не имеет источников. Это означает, что линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Следовательно, линии постоянного тока всегда замкнуты. Соответственно равен нулю. Поэтому для постоянного тока картина, аналогичная изображенной на рис. 32.1, имеет вид, показанный на рис. 32.2.