§ 144. Элементарная теория дисперсии

Дисперсия света может быть объяснена на основе электромагнитной теории и электронной теории вещества. Для этого нужно рассмотреть процесс взаимодействия света с веществом. Движение электронов в атоме подчиняется законам квантовой механики. В частности, понятие траектории электрона в атоме теряет всякий смысл. Однако, как показал Лоренц, для качественного понимания многих оптических явлений достаточно ограничиться гипотезой о существовании внутри атомов электронов, связанных квазиупруго. Будучи выведенными из положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергию колебания на излучение электромагнитных волн. В результате колебания будут затухающими. Затухание можно учесть, введя «силу трения излучения», пропорциональную скорости.

При прохождении через вещество электромагнитной волны каждый электрон оказывается под воздействием лоренцевой силы

(144.1)

(см. формулу (43.5); заряд электрона равен — ). Согласно (105.13) отношение напряженностей магнитного и электрического полей в волне равно Следовательно, для отношения магнитной и электрической сил, действующих на электрон, получается из (144.1) значение

Даже если бы амплитуда колебаний электрона а достигла значения порядка ; т. е. порядка размеров атома, амплитуда скорости электрона составила бы примерно (согласно равна приблизительно Таким образом,отношение v/c заведомо меньше так что вторым слагаемым в (144.1) можно пренебречь.

Итак, можно считать, что при прохождении через вещество электромагнитной волны каждый электрон находится под действием силы

(а — величина, определяемая координатами данного электрона, — амплитуда напряженности электрического поля волны).

Чтобы упростить вычисления, затуханием за счет излучения вначале будем пренебрегать. Впоследствии мы учтем затухание, внеся в полученные формулы соответствующие поправки. Уравнение движения электрона в этом случае имеет вид

(см. формулу (50.13) 1-го тома; — собственная частота колебаний электрона). Добавим к правой части этого уравнения слагаемое — и перейдем таким образом к комплексным функциям :

(144.2)

Здесь комплексная амплитуда электрического поля волны.

Будем искать решение уравнения в виде где — комплексная амплитуда колебаний электрона. Соответственно Подстановка этих выражений в уравнение (144.2) приводит после сокращения на общий множитель к соотношению

Отсюда

Умножение полученного равенства на дает, что

Наконец, взяв вещественные части от комплексных функций , найдем как функцию

(144.3)

Чтобы упростить задачу, будем считать молекулы неполярными. Кроме того, поскольку массы ядер велики по сравнению с массой электрона, пренебрежем смещениями ядер из положений равновесия под действием поля волны. В этом приближении дипольный электрический момент молекулы можно представить в виде

где — заряды и радиусы-векторы равновесных положений ядер, — заряд и радиус-вектор равновесного положения электрона, — смещение электрона из положения равновесия под действием поля волны, — дипольный момент молекулы в отсутствие поля, который по предположению равен нулю.

Все коллинеарны с . Поэтому для проекции на направление получается выражение

(мы учли, что всех электронов одинаковы и равны — ). Подставим сюда значение (144.3) для , приняв во внимание, что входящие в состав молекулы электроны имеют неодинаковые собственные частоты Врезультате получим

(144.4)

Обозначим число молекул в единице объема буквой N. Произведение дает поляризованность вещества Р (t). Согласно формулам (19.5) и (16.2) диэлектрическая проницаемость равна

Подставив сюда значение отношения получающееся (144.4), и заменив через (см. (110.3)), придем к формуле

(144.5)

При частотах , заметно отличающихся от всех собственных частот сумма в (144.5) будет мала по сравнению с единицей, так что . Вблизи каждой из собственных частот функция (144.5) терпит разрыв: при стремлении со к слева она обращается в при стремлении справа — (см. пунктирные кривые на рис. 144.1). Такое поведение функции (144.5) обусловлено тем, что мы пренебрегли трением излучения (напомним, что при пренебрежении трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе обращается в бесконечность; см. формулу (60.18) 1-го тома). Учет трения излучения приводит к зависимости от со, показанной на рис. 144.1 сплошной кривой.

Перейдя от к а? и от со к получим кривую, изображенную на рис. 144.2 (дан лишь участок кривой в области одной из резонансных длин волн). Пунктирная кривая на этом рисунке изображает ход коэффициента поглощения света веществом (см. следующий параграф). Участок 3—4 аналогичен кривой, приведенной на рис. 142.1. Участки 1—2 и 3—4 соответствуют нормальной дисперсии На участке 2—3 дисперсия аномальна .

В области 1—2 показатель преломления меньше единицы, следовательно, фазовая скорость волны превышает с. Это обстоятельство не противоречит теории относительности, основывающейся на утверждении, что скорость передачи сигнала не может превзойти с. В предыдущем параграфе мы выяснили, что передать сигнал с помощью идеально монохроматической волны невозможно. Передача же энергии (т. е. сигнала) с помощью не вполне монохроматической волны (группы волн) осуществляется со скоростью, равной групповой скорости, определяемой формулой (143.16). В области нормальной дисперсии имеют разные знаки, так что, хотя групповая скорость оказывается меньше с.

Рис. 144.1.

Рис. 144.2.

В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл (поглощение очень велико). Поэтому вычисленное по формуле (143.16) значение и не будет характеризовать скорости передачи энергии. Соответствующий расчет дает этой области для скорости передачи энергии значение, меньшее с.