§ 30. Энергия электрического поля

Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это для плоского конденсатора. Подстановка в формулу (см. (29.2)) выражения (27.3) для емкости дает

Частное равно напряженности поля в зазоре; произведение представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно,

(30.1)

Формула связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (30.1) — с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована (т. е. сосредоточена) энергия, что является носителем энергии — заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные по времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн.

Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет которой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными волнами; энергия, заставляющая звучать радиоприемник, переносится от передающей станции электромагнитными волнами, и т. д. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле.

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе), заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плоскостью w, равной энергии поля, деленной на занимаемый полем объем. Из формулы (30.1) следует, что плотность энергии поля напряженности Е, созданного в среде с проницаемостью , равна

С учетом соотношения (19.6) формулу (30.2) можно представить в виде

В изотропном диэлектрике направления векторов Е и D совпадают. Поэтому формуле для плотности энергии можно придать вид

Заменив в этой формуле D его значением (19.3), получим для следующее выражение:

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Второе слагаемое, как мы сейчас докажем, представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

Поляризация диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поля Е. В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов на величины , равна

(для простоты мы считаем, что поле однородно). Согласно формуле (15.1) равна дипольному моменту единицы объема, т. е. поляризованности диэлектрика Р. Следовательно,

Вектор Р связан с вектором Е соотношением (см. (16.2)). Отсюда Подставив это значение в (30.5), получим выражение

Наконец, произведя интегрирование, найдем для работы, затрачиваемой на поляризацию единицы объема диэлектрика, выражение

которое совпадает со вторым слагаемым в формуле (30.4). Таким образом, выражения (30.3) включают в себя, кроме собственно энергии поля еще и энергию затрачиваемую при создании поля на поляризацию диэлектрика.

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл

В качестве примера вычислим энергию поля заряженного проводящего шара радиуса R, помещенного в однородный безграничный диэлектрик. Напряженность поля в этом случае является функцией только от :

Разобьем окружающее шар пространство на концентрические шаровые слои толщины Объем слоя равен . В нем заключена энергия

Энергия поля равна

(согласно (26.4) есть емкость шара).

Полученное нами выражение совпадает с выражением для энергии проводника, обладающего емкостью С и несущего на себё заряд q (см. формулу (28.3)).