§ 12. Циркуляция и ротор электростатического поля
В § 6 мы выяснили, что силы, действующие на заряд q в электростатическом поле, являются консервативными. Следовательно, работа этих сил на любом замкнутом пути Г равна нулю:
Сократив на q, получим соотношение
Рис. 12.1.
Интеграл, стоящий в левой части формулы (12.1), представляет собой циркуляцию вектора 
контуру Г (см. (11.16)). Таким образом, характерным для электростатического поля является то обстоятельство, что циркуляция вектора напряженности этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
Возьмем произвольную поверхность S, опирающуюся на контур Г, для которого вычисляется циркуляция (рис. 12.1). Согласно теореме Стокса (см. (11.42)) интеграл от ротора Е, взятый по этой поверхности, равен циркуляции вектора Е по контуру Г:
Поскольку циркуляция равна нулю, мы приходим к выводу, что
Полученное условие должно выполняться для любой поверхности S, опирающейся на произвольный контур Г. Это возможно лишь в том случае, если ротор вектора Е в каждой точке поля равен нулю:
По аналогии с крыльчаткой, изображенной на рис. 11.12, представим себе электрическую «крыльчатку» в виде легкой втулки со спицами, на концах которых помещаются одинаковые по величине положительные заряды q (рис. 12.2; все устройство должно быть малых размеров). В тех местах электрического поля, где ротор Е отличен от нуля, такая крыльчатка вращалась бы с тем большим ускорением, чем больше проекция ротора на ось крыльчатки.
Рис. 12.2.
Рис. 12.3.
Рис. 12.4.
В случае электростатического поля такое воображаемое устройство не пришло бы во вращение при любой ориентации его оси.
Итак, отличительной особенностью электростатического поля является то, что оно безвихревое. В предыдущем параграфе мы выяснили, что ротор градиента скалярной функции равен нулю (см. формулу (11.38)). Поэтому равенство нулю ротора Е в каждой точке поля делает возможным представление Е в виде градиента скалярной функции <р, называемой потенциалом. Такое представление уже было рассмотрено в § 8 (см. формулу (8.2); знак минус в этой формуле взят из физических соображений).
Из необходимости соблюдения условия (12.1) можно сразу заключить, что существование элекростатического поля вида, показанного на рис. 12.3, невозможно. Действительно, для такого поля циркуляция по контуру, изображенному пунктиром, была бы отлична от нуля, что противоречит условию (12.1). Точно так же невозможно, чтобы поле, отличное от нуля в ограниченном объеме, было во всем этом объеме однородным (рис. 12.4). В этом случае циркуляция по контуру, показанному пунктиром, была бы отлична от нуля.
