§ 95. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, z углы .

Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 95.1), имеют вид

Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстояние Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (95.1) на время

(, см. формулу (94.7)).

Выразим I через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор нормали к волновой поверхности. Из рис. 95.1 видно, что скалярное произведение на радиус-вектор любой из точек поверхности равно

Заменим в (95.2) I через

Вектор

равный по модулю волновому числу и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором.

Рис. 95.1.

Таким образом, уравнение (95.3) можно представить в виде

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором к. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение множитель

Функция (95.5) дает отклонение от положения равновесия точки с радиусом-вектором в момент времени t (напомним, что определяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное произведение кг через компоненты векторов по координатным осям:

Тогда уравнение плоской волны примет вид

Здесь

(95.7)

Функция (95.6) дает отклонение точки с координатами х, у, z в момент времени t. В случае, когда совпадает с и уравнение (95.6) переходит в (94.8). Очень удобна запись уравнения плоской волны в виде

Знак обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент — начальную фазу волны.

Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в виде

(95.10)

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.