§ 102. Скорость звука в газах

Звуковая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа. Следовательно, давление в каждой точке пространства испытывает периодически изменяющееся отклонение от среднего значения р, совпадающего с давлением, которое существует в газе в отсутствие волн. Таким образом, мгновенное значение давления в некоторой точке пространства можно представить в виде

Пусть волна распространяется вдоль оси х. Подобно тому, как мы поступили в § 97 при нахождении скорости упругих волн в твердом теле, рассмотрим объем газа в виде цилиндра с площадью основания S и высотой (рис. 102.1). Масса газа, заключенного в этом объеме, равна где — плотность невозмущенного волной газа.

Ввиду малости проекцию ускорения на ось х для всех точек цилиндра можно считать одинаковой и равной .

Для нахождения проекции на ось х силы, действующей на рассматриваемый объем, нужно взять произведение площади основания цилиндра S на разность давлений в сечениях и Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (97.5), получим

(напомним, что при выводе формулы (97.5) было использовано предположение:

Итак, мы нашли массу выделенного объема газа, его ускорение и действующую на него силу. Теперь напишем для этого объема газа уравнение второго закона Ньютона:

После сокращения на получим

В полученном нами дифференциальном уравнении содержатся две неизвестные функции: . Выразим одну из этих функций через другую. Для этого наедем связь между давлением газа и относительным изменением его объема Эта связь зависит от характера процесса сжатия (или расширения) газа. В звуковой волне сжатия и расширения газа следуют друг за другом так часто, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, и процесс можно считать адиабатическим. При адиабатическом процессе связь между давлением и объемом данной массы газа дается уравнением

(102.2)

где у — отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме (см. уравнение (88.5) 1-го тома). В соответствии с (102.2)

Сокращение на дает

Рис. 102.1.

Воспользовавшись тем, что по предположению , разложим выражение в ряд по степеням и пренебрежем членами высших порядков малости. В результате получится формула

Решим это уравнение относительно р:

(102.3)

(мы воспользовались формулой справедливой для Из найденного нами соотношения легко получить выражение для

(102.4)

Поскольку у — величина порядка единицы, из (102.4) вытекает, что Таким образом, условие означает, что отклонение давления от среднего значения много меньше самого давления. Это действительно так: для самых громких звуков амплитуда колебаний давления воздуха не превышает 1 мм рт. ст., в то время как атмосферное давление имеет величину порядка мм рт. ст.

Продифференцировав выражение (102.3) по х, найдем, что

Наконец, подставив это значение в формулу (102.1), получим дифференциальное уравнение

Сопоставление его с волновым уравнением (96.7) дает для скорости звуковых волн в газе выражение

(102.5)

(напомним, что — давление и плотность невозмущенного волной газа).

При атмосферном давлении и обычных температурах большинство газов близко по своим свойствам к идеальному газу. Поэтому отношение для них можно положить равным где R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура, М — масса моля газа (см. формулу (86.8) 1-го тома).

Подставив это значение в (102.5), получим для скорости звука в газе формулу

Из этой формулы следует, что скорость звука пропорциональна корню квадратному из температуры и не зависит от давления.

Средняя скорость теплового движения молекул газа определяется по формуле

(см. формулу (98.31) 1-го тома). Сравнение этого выражения с (102.6) дает, что скорость звука в газе связана со средней скоростью теплового движения молекул соотношением

(102.7)

Подстановка значения у для воздуха, равного 1,4, приводит к соотношению . Максимальное возможное значение у составляет . В этом случае . Таким образом, скорость звука в газе оказывается того же порядка, что средняя скорость теплового движения молекул, но всегда несколько меньше, чем (омол).

Вычислим значение скорости звука в воздухе при температуре 290 К (комнатная температура). Для воздуха Газовая постоянная равна Подставив эти значения в формулу (102.6), получим

Найденное нами значение скорости звука в воздухе хорошо согласуется со значением, полученным опытным путем.

Найдем связь между интенсивностью звуковой волны I и амплитудой колебаний давления . В § 101 было указано, что под интенсивностью звука понимают среднее значение плотности потока энергии. Следовательно,

(102.8)

(см. формулу (98.11)). Здесь — плотность невозмущенного газа, а — амплитуда колебаний частиц срёды, т. е. амплитуда колебаний смещения , — частота, v — фазовая скорость волны. Заметим, что под частицами среды в данном случае подразумеваются не молекулы, а макроскопические (т. е. заключающие в себе большое количество молекул) объемы, линейные размеры которых много меньше длины волны.

Пусть изменяется по закону . Тогда

Подставив это значение в формулу (102.4), получим

Отсюда

(102.9)

Подстановка этого выражения в (102.8) дает

Приняв во внимание, что (см. формулу (102.6) и предшествующий ей текст), можно написать

(102.10)

С помощью этой формулы можно вычислить, что диапазону уровней громкости от 0 до 130 дБ соответствуют примерные значения амплитуды колебаний давления воздуха от (т. е. мм ) до 100 Па мм рт. ст.).

Произведем оценку амплитуды колебаний частиц а и амплитуды скорости частиц Начнем с оценки величины о, определяемой формулой (102.9). Приняв во внимание, что получим соотношение

(102.11)

( следовательно, ). При громкости 130 дБ отношение имеет величину порядка при громкости это отношение равно примерно . Длины звуковых волн в воздухе лежат в пределах от Гц) до 17 мм (при Гц). Подставив эти данные в формулу (102.11), найдем, что при громкости 60 дБ амплитуда колебаний частиц составляет мм для самых длинных волн и мм для самых коротких волн. При громкости 130 дБ амплитуда колебаний для самых длинных волн достигает ~2 мм.

При гармонических колебаниях амплитуда скорости равна амплитуде смещения о, умноженной на круговую частоту Умножив выражение (102.11) на w, получим

Следовательно, при громкости 130 дБ амплитуда скорости составляет примерно При громкости 60 дБ амплитуда скорости будет порядка 0,1 мм/с. Заметим, что, в отличие от амплитуды смещения, амплитуда скорости не зависит от длины волны.