§ 111. Представление гармонических функций с помощью экспонент

Образуем сумму двух комплексных чисел

(111.1)

Из (111.1) следует, что вещественная часть суммы комплексных чисел равна сумме вещественных частей слагаемых:

(111.2)

Допустим, что комплексное число является функцией некоторого параметра, например времени t:

Продифференцировав эту функцию по t, получим

Отсюда вытекает, что вещественная часть производной z по t равна производной по t от вещественной части

При интегрировании комплексной функции имеет место аналогичное соотношение. Действительно,

откуда следует, что вещественная часть интеграла от равна интегралу от вещественной части z(t):

Очевидно, что соотношения, аналогичные (111.2), (111.3) и (111.4), имеют место также и для мнимых частей комплексных функций.

Из сказанного вытекает, что при выполнении над комплексными функциями операций сложения, дифференцирования и интегрирования, а также линейных комбинаций этих операций, вещественная (мнимая) часть результата совпадает с результатом, который получился бы при выполнении аналогичных операций над вещественными (мнимыми) частями тех же функций. Обозначнелинейную комбинацию перечисленных выше операций символом L, можно написать:

(111.5)

Установленное нами свойство линейных операций позволяет применять следующий вычислительный прием: осуществляя линейные операции над гармоническими функциями вида

заменять эти функции экспонентами

где — комплексное число, называемое комплексной амплитудой.

При таком представлении можно производить сложение функций, дифференцирование по переменным t, х, у, z, а также интегрирование по этим переменным. Произведя вычисления, следует взять вещественную часть полученного результата. Целесообразность этого приема объясняется тем, что вычисления с экспонентами значительно проще вычислений, осуществляемых над тригонометрическими функциями.

Переходя к представлению (111.6), мы по существу добавляем ко всем функциям вида слагаемые Напомним, что подобный прием мы использовали при изучении вынужденных колебаний (см. § 60 1-го тома).