§ 10. Поле системы зарядов на больших расстояниях

Возьмем систему N зарядов размещенных в объеме с линейными размерами порядка и исследуем поле, создаваемое этой системой на расстояниях , больших по сравнению с Выберем начало координат О внутри объема, занимаемого системой, и определим положения зарядов с помощью радиусов-векторов (рис. 10.1; чтобы не загромождать рисунок, мы показали только радиус-вектор заряда).

Потенциал в точке, определяемой радиусом-вектором , равен

Вследствие малости по сравнению с можно положить, что

(ср. с (9.1)). Подстановка этого выражения в формулу (10.1) дает

Воспользовавшись формулой

справедливой при преобразуем выражение (10.2) следующим образом:

Первый член полученного выражения представляет собой потенциал поля точечного заряда величины (ср. с (6.7). Второй член имеет такой же вид, как выражение, определяющее потенциал поля диполя, причем роль электрического момента диполя играет величина

Рис. 10.1.

Эта величина называется дипольным электрическим моментом системы зарядов. Легко проверить, что в случае диполя формула (10.4) переходит в уже знакомое нам выражение: .

Если суммарный заряд системы равен нулю значение дипольного момента не зависит от выбора начала координат. Чтобы убедиться в этом, возьмем два произвольных начала координат (рис. 10.2). Между радиусами-векторами заряда, проведенными из этих точек, имеется соотношение

(чтотакое вектор ясно из рисунка). С учетом (10.5) дипольный момент в системе с началом О равен

Первое слагаемое равно иулю (так как второе представляет собой — дипольный момент в системе координат с началом в точке О. Таким образом, мы получили, что

Рис. 10.2.

Рис. 10.3.

Выражение (10.3) по существу представляет собой первые члены разложения функции (10.1) в ряд по степеням величин Если основной вклад в потенциал вносит первый член формулы (10.3) (второй член убывает как и потому много меньше первого). Для электрически нейтральной системы первый член равен нулю, и потенциал определяется в основном вторым членом формулы (10.3). Так, в частности, обстоит дело в случае поля диполя.

Для изображенной на рис. 10.3, а системы зарядов, называемой квадруполем, и Р равны нулю, так что формула (10.3) дает нулевое значение потенциала. В действительности же поле квадруполя хотя и много слабее, чем поле диполя (с такими же q и I), но отлично от нуля. Потенциал поля, создаваемого квадруполем, определяется в основном третьим членом разложения, который пропорционален Для получения этого члена нужно учесть величины порядка которыми мы пренебрегали при выводе формулы (10.3). Для показанной на рис. 10.3, б системы зарядов, называемой октуполем, равен нулю и третий член разложения.

Потенциал поля такой системы определяется четвертым членом разложения, который пропорционален .

Отметим, что стоящая в числителе первого члена формулы (10.3) величина, равная называется монополем или мультиполем нулевого порядка, диполь называется мультиполем первого порядка, квадруполь — мультиполем второго порядка и т. д.

Итак, в общем случае поле системы зарядов на больших расстояниях можно представить как наложение полей, создаваемых мультиполями разных порядков — монополем, диполем, квадруполем, октуполем и т. д.