§ 78. Элементарная классическая теория металлов

Исходя из представлений о свободных электронах, Друде создал классическую теорию металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем. Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежутках между соударениями они движутся совершенно свободно, пробегая в среднем некоторый путь К. Правда, в отличие от молекул газа, пробег которых определяется соударениями молекул друг с другом, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решетку металла. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой.

Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, оценку средней скорости теплового движения электронов можно произвести по формуле

(см. формулу (98.26) 1-го тома). Для комнатной температуры вычисление по этой формуле приводит к следующему значению:

При включении поля на хаотическое тепловое движение, происходящее со скоростью (v), накладывается упорядоченное движение электронов с некоторой средней скоростью (и). Величину этой скорости легко оценить, исходя из формулы

(см. (34.4)). Предельная допустимая техническими нормами плотность тока для медных проводов составляет около .

. Взяв для значение получим

Таким образом, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения зарядов примерно в раз меньше средней скорости теплового движения . Поэтому при вычислениях модуль результирующей скорости можно заменять модулем скорости теплового движения .

Найдем вызываемое полем изменение среднего значения кинетической энергии электронов. Средний квадрат результирующей скорости равен

Два события, заключающиеся в том, что скорость теплового движения электрона примет значение v, а скорость упорядоченного движения — значение и, являются статистически независимыми. Поэтому согласно теореме об умножении вероятностей (см. формулу (93.4) 1-го тома) . Но равно нулю, так что второе слагаемое в (78.3) исчезает и формула принимает вид

Отсюда вытекает, что упорядоченное движение увеличивает кинетическую энергию электронов в среднем на

Закон Ома. Друде считал, что при соударении электрона с ионом кристаллической решетки приобретенная электроном дополнительная энергия (78.4) передается иону и, следовательно, скорость и в результате соударения делается равной нулю. Предположим, что поле, ускоряющее электроны, однородно. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение, равное и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет в среднем значения

где — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Друде не учитывал распределения электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение скорости v. В этом приближении

(напомним, что практически равен ).

Подставив это значение в формулу (78.5), получим

Скорость и изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее за пробег значение равно половине максимального:

Подстановка этого выражения в формулу (78.2) дает

Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля — мы пришли к закону Ома. Согласно (34.3) коэффициент пропорциональности между j и Е есть проводимость

Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, согласно классическим представлениям электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами, помещающимися в узлах кристаллической решетки металла.

Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного пробега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию, среднее значение которой равно

(см. формулы (78.4) и (78.6)). Столкнувшись с ионом, электрон, по предположению, полностью передает приобретенную энергию решетке. Сообщенная решетке энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании.

Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем соударений, сообщая всякий раз решетке энергию (78.8). Поэтому в единице объема за единицу времени должно выделяться тепло

( — число электронов проводимости в единице объема).

Величина есть удельная тепловая мощность тока (см. § 38). Множитель при совпадает со значением (78.7) для . Перейдя в выражении от к придем к формуле: выражающей закон Джоуля — Ленца (см. формулу (38.4)).

Закон Видемана — Франца. Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отличаются также большой теплопроводностью. Видеман и Франц установили в 1853 г. эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре. Например, для алюминия при комнатной температуре это отношение равно для меди и для свинца

Способностью проводить тепло обладают и неметаллические кристаллы. Однако теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков. Из этого следует, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а свободными электронами. Рассматривая эти электроны как одноатомный газ, можно заимствовать для коэффициента теплопроводности выражение кинетической теории газов:

(см. формулу (131.7) 1-го тома; заменено произведением вместо взято v). Удельная теплоемкость одноатомного газа равна Подставив это значение в выражение для получим

Разделив на выражение (78.7) для а и заменив затем через придем к соотношению

которое выражает закон Видемана — Франца.

Подстановка в (78.9) числовых значений k и дает

При Т = 300 для получается значение , хорошо согласующееся с экспериментальными данными (см. приведенные выше значения для ). Однако впоследствии выяснилось, что столь хорошее совпадение оказалось случайным, ибо когда Лоренц уточнил расчеты, учтя распределение электронов по скоростям, для отношения получилось значение которое хуже согласуется с данными опыта.

Итак, классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца.

Вместе с тем эта теория встретилась с весьма существенными затруднениями. Из них основными являются два. Из формулы (78.7) вытекает, что сопротивление металлов (т. е. величина, обратная а) должно возрастать как корень квадратный из Т. Действительно, для предположения о зависимости величин и К от температуры нет никаких оснований. Скорость же теплового движения пропорциональна корню из Т. Этот вывод теории противоречит опытным данным, согласно которым электрическое сопротивление металлов растет пропорционально первой степени Т, т. е. быстрее, чем (см. формулу (34.5)).

Второе затруднение классической теории заключается в том, что электронный газ должен обладать молярной теплоемкостью, равной Добавив эту величину к теплоемкости решетки, составляющей (см. формулу (114.1) 1-го тома), получим для молярной теплоемкости металла значение Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металлов должна быть в 1,5 раза больше, чем у диэлектриков. В действительности же теплоемкость металлов не отличается заметно от теплоемкости неметаллических кристаллов. Объяснение такого несоответствия смогла дать лишь квантовая теория металлов.