§ 18. Объемные и поверхностные связанные заряды

Когда диэлектрик не поляризован, объемная плотность и поверхностная плотность а связанных зарядов равны нулю. В результате поляризации поверхностная плотность, а в некоторых случаях и объемная плотность связанных зарядов становятся отличными и от нуля.

На рис. 18.1 изображен схематически поляризованный диэлектрик с неполярными (а) и полярными (б) молекулами.

Рис. 18.1.

Из рисунка видно, что поляризация сопровождается возникновением в тонком поверхностном слое диэлектрика избытка связанных зарядов одного знака. Если нормальная составляющая напряженности поля Е для данного участка поверхности отлична от нуля, то под действием поля заряды одного знака уходят внутрь, а другого знака выходят наружу.

Между поляризованностью Р и поверхностной плотностью связанных зарядов о имеется простая связь. Для ее нахождения рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластину из однородного диэлектрика, помещенную в однородное электрическое поле (рис. 18.2).

Выделим мысленно в пластине элементарный объем виде очень тонкого цилиндра с образующими, параллельными Е в диэлектрике, и с основаниями площади , совпадающими с поверхностями пластины. Величина этого объема равна

где — расстояние между основаниями цилиндра, a — угол между вектором Е и внешней нормалью к положительно заряжеыной поверхности диэлектрика. Объем имеет дипольный электрический момент

(Р — модуль поляризованности).

С макроскопической точки зрения рассматриваемый объем эквивалентен диполю, образованному зарядами отстоящими друг от друга на расстояние l. Поэтому его электрическим момент можно представить в виде Приравняв друг другу оба выражения для электрического момента, получим

Рис. 18.2.

Отсюда вытекает искомое соотношение между и Р:

где — проекция поляризованиости на внешнюю нормаль к соответствующей поверхности. Для правой поверхности на рис. 18.2 , соответственно а для нее положительна; для левой поверхности , соответственно а для нее отрицательна.

Выразив согласно (16.2) Р через придем к формуле

где — нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика. В соответствии с (18.2) в тех местах, где линии напряженности выходят из диэлектрика на поверхности выступают положительные связанные заряды, там же, где линии напряженности входят в диэлектрик появляются отрицательные поверхностные заряды.

Формулы (18.1) и (18.2) справедливы и в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле.

Под в этом случае нужно понимать нормальную составляющую соответствующего вектора, взятую в непосредственной близости к тому элементу поверхности, для которого определяется .

Теперь обратимся к нахождению объемной плотности связанных зарядов, возникающих внутри неоднородного диэлектрика. Рассмотрим в неоднородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами воображаемую малую площадку (рис. 18.3). Пусть в единице объема диэлектрика имеется одинаковых частиц с зарядом одинаковых частиц с зарядом . В небольшой окрестности площадки электрическое поле и диэлектрик можно считать однородными. Поэтому все положительные заряды, находящиеся вблизи , сместятся при включении поля в направлении Е на одинаковое расстояние а все отрицательные заряды сместятся в противоположном направлении на одинаковое расстояние (см. рис. 18.3). При этом через площадку пройдет в направлении нормали к ней некоторое количество зарядов одного знака (положительных, если отрицательных, если ) и в направлении, противоположном , некоторое количество зарядов другого знака (отрицательных, если положительных, если ).

Площадку пересекут все заряды которые до включения поля отстояли от нее не более чем на , т. е. все заключенные в косом цилиндре объемом Число этих зарядов равно а переносимый ими в направлении нормали к площадке заряд равен заряд, переносимый в направлении нормали за счет смещения зарядов будет отрицательным). Аналогично площадку пересекут все заряды , заключенные в объеме . Эти заряды перенесут в направлении нормали к площадке заряд, равный (из рис. 18.3 видно, что при заряды — перенесут через в направлении, противоположном , заряд что эквивалентно переносу в направлении заряда .

Итак, при включении поля через площадку переносится в направлении нормали к ней заряд

Сумма есть расстояние на которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицательные связанные заряды в диэлектрике. В результате этого смещения каждая пара зарядов приобретает дипольный момент Число таких пар в единице объема равно . Следовательно, произведение дает модуль поляризованности.

Рис. 18.3.

Таким образом, заряд, проходящий при включении поля через, площадку в направлении нормали к ней, равен

Поскольку диэлектрик изотропный, направления векторов Е и Р совпадают (см. рис. 18.3). Следовательно, а есть угол между векторами Р и , в связи с чем можно написать

Перейдя от дельт к дифференциалам, получим

Мы нашли связанный заряд который проходит при включении поля через элементарную площадку в направлении нормали к ней; Р есть поляризованность, возникающая под действием поля в том месте, где расположена площадка

Представим себе внутри диэлектрика замкнутую поверхность 5. При включении поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд q, равный

(мы условились в случае замкнутых поверхностей брать внешнюю нормаль к площадкам ). В результате в объеме, ограниченном поверхностью S, возникнет избыточный связанный заряд

(Фр—поток вектора Р через поверхность ).

Введя объемную плотность связанных зарядов , можно написать

(интеграл берется по объему, ограниченному поверхностью S). Таким образом, мы приходим к формуле

Преобразуем поверхностный интеграл по теореме Остроградского—Гаусса (см. (11.41)). В результате получится соотношение

Это соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V, что возможно лишь в том случае, если в каждой точке диэлектрика выполняется равенство

Следовательно, плотность связанных зарядов равна дивергенции поляризованности Р, взятой с обратным знаком.

Мы получили (18.4), рассматривая диэлектрик с неполярными молекулами. Однако эта формула справедлива и для диэлектриков с полярными молекулами.

Формуле (18.4) можно дать наглядную интерпретацию. Точки с положительной служат источниками поля вектора Р, из этих точек линии Р расходятся (рис.

18.4). Точки с отрицательной служат стоками поля вектора Р, к этим точкам линии Р сходятся. При поляризации диэлектрика положительные связанные заряды смещаются в направлении вектора Р, т. е. в направлении линий Р; отрицательные же связанные заряды смещаются в противоположном направлении (на рисунке обведены овалами связанные заряды, принадлежащие отдельным молекулам). В результате в местах с положительной образуется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательному Р — избыток положительных связанных зарядов.

Связанные заряды отличаются от сторонних лишь тем, что не могут покинуть пределы молекул, в состав которых они входят. В остальном же их свойства таковы, как и у всех прочих зарядов. В частности, они служат источниками электрического поля. Поэтому в случае, когда плотность связанных зарядов отлична от нуля, формулу (13.5) нужно писать в виде

Здесь — плотность сторонних зарядов.

Подставим в (18.4) выражение (16.2) для Р и воспользуемся формулой (11.36). В результате получим

Заменив в соответствии с (18.5), придем к уравнению

Отсюда

Рис. 18.4.

Из формулы (18.6) вытекает, что объемная плотность связанных зарядов может быть отличной от нуля в двух случаях: 1) если диэлектрик неоднороден если в данном месте диэлектрика плотность сторонних зарядов отлична от нуля

В случае, когда внутри диэлектрика сторонних зарядов нет, объемная плотность связанных зарядов равна