§ 46. Контур с током в магнитном поле

Выясним, как ведет себя контур с током в магнитном поле. Начнем со случая, когда поле однородно ). Согласно (44.5) на элемент контура действует сила

Результирующая таких сил равна

Вынеся постоянные величины и В за знак интеграла, получим

Интеграл равен нулю, поэтому . Таким образом, результирующая сила, действующая на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. Это справедливо для контуров любой формы (в том числе и неплоских) при произвольном расположении контура относительно направления поля. Существенной для равенства нулю результирующей силы является лишь однородность поля.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением плоских контуров. Вычислим результирующий вращательный момент, создаваемый силами (46.1), приложенными к контуру. Поскольку в однородном поле сумма этих сил равна нулю, результирующий момент относительно любой точки будет один и тот же. Действительно, результирующий момент относительно некоторой точки О определяется выражением

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы Возьмем точку О, смещенную относительно О на отрезок Ь. Тогда соответственно Поэтому результирующий момент относительно точки О равен

Моменты, вычисленные относительно двух произвольно взятых точек О и О', оказались совпадающими. Отсюда заключаем, что момент не зависит от выбора точки, относительно которой он берется (ср. с парой сил).

Рассмотрим произвольный плоский контур с током, находящийся в однородном магнитном поле В. Пусть контур ориентирован так, положительная нормаль к контуру перпендикулярна к вектору В (рис. 46.1).

Положительной называется нормаль, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта.

Разобьем площадь контура на узкие параллельные направлению вектора В полоски ширины (см. рис. 46.1, а; на рис. 46.1, б одна такая полоска изображена в увеличенном виде). На ограничивающий полоску слева элемент контура действует сила направленная за чертеж. Модуль этой силы равен (см. рис. 46.1, б). На ограничивающий полоску справа элемент контура действует сила направленная на нас. Модуль этой силы равен

Полученный нами результат означает, что силы, приложенные к противоположным элементам контура образуют пару, момент которой равен

— площадь полоски). Из рис. 46.1 видно, что вектор перпендикулярен к векторам , следовательно, может быть записан в виде

Рис. 46.1.

Просуммировав это выражение по всем полоскам, получим вращательный момент, действующий на контур:

(поле предполагается однородным, поэтому произведение для всех полосок одинаково и может быть вынесено за знак интеграла). Величина S в выражении (46.3) есть площадь контура. Выражение (46.3) можно представить в виде

Эта формула сходна с формулой (9.12), определяющей вращательный момент, действующий на электрический диполь в электрическом поле. Аналогом Е служит в (46.4) вектор аналогом дипольного электрического момента — выражение Это послужило основанием для того, чтобы назвать величину

дипольным магнитным моментом контура с током. Направление вектора совпадает с направлением положительной нормали к контуру.

Воспользовавшись обозначением (46.5), можно написать формулу (46.4) следующим образом:

Теперь допустим, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру , а следовательно, и с направлением вектора (рис. 46.2). В этом случае силы, действующие на разные элементы контура, лежат в одной плоскости — плоскости контура. Сила, действующая на элемент контура определяется выражением (46.1). Вычислим результирующий момент таких сил относительно точки О, лежащей в плоскости контура:

( — радиус-вектор, проведенный из точки О к элементу ). Преобразуем подынтегральное выражение по формуле «бац минус цаб» (см. формулу (2.35) 1-го тома). В результате получим

Первый интеграл равен нулю вследствие того, что векторы и В взаимно перпендикулярны.

Рис. 46.2.

Рис. 46.3.

Скалярное произведение под знаком второго интеграла равно Поэтому второй интеграл можно представить в виде

Под знаком интеграла стоит полный дифференциал функции . Сумма приращений функции на замкнутом пути равна нулю. Следовательно, и второе слагаемое в выражении для N равно нулю. Таким образом, мы доказали, что результирующий момент N относительно любой точки О, лежащей в плоскости контура, равен нулю. Такое же значение имеет результирующий момент относительно всех других точек (см. выше).

Итак, в случае, когда векторы имеют одинаковое направление, магнитные силы, действующие на отдельные участки контура, не стремятся ни повернуть контур, ни сдвинуть его с места; они лишь стремятся растянуть контур в его плоскости. Если векторы имеют противоположные направления, магнитные силы стремятся сжать контур.

Пусть направления векторов и В образуют произвольный угол а (рис. 46.3). Разложим магнитную индукцию В на две составляющие: — параллельную и перпендикулярную вектору и рассмотрим действие каждой составляющей отдельно. Составляющая будет обусловливать силы, растягивающие или сжимающие контур. Составляющая величина которой равна , приведет к возникновению вращательного момента, который можно вычислить по формуле (46.6):

Из рис. 46.3 видно, что

Следовательно, в самом общем случае вращательный момент, действующий на плоский контур с током в однородном магнитном поле, определяется формулой

Модуль вектора N равен

Для того чтобы угол а между векторами увеличить на нужно совершить против сил, действующих на контур в магнитном поле, работу

Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может возвратить затраченную на его поворот работу, совершив ее над каким-нибудь телом. Следовательно, работа (46.9) идет на увеличение потенциальной энергии Нмех, которой обладает контур с током в магнитном поле,

Интегрируя, находим

Если положить формула приобретает вид

(46.10)

(ср. с формулой (9.15)).

Параллельная ориентация векторов и В отвечает минимуму энергии (46.10) и, следовательно, положению устойчивого равновесия контура.

Величина (46.10) представляет собой не полную потенциальную энергию контура с током, а лишь ту ее часть, которая обусловлена существованием вращательного момента (46.7). Чтобы подчеркнуть это, мы снабдили символ величины (46.10) индексом «мех». Полная потенциальная энергия контура включает, кроме (46.10), еще другие слагаемые.

Теперь рассмотрим плоский контур с током в неоднородном магнитном поле. Для простоты будем вначале считать контур круговым. Предположим, что поле изменяется быстрее всего в направлении совпадающем с направлением В в том месте, где расположен центр контура, и что магнитный момент контура ориентирован по полю (рис. 46.4, а).

В рассматриваемом случае и выражение (46.2) не обязано быть нулем. Сила действующая на элемент контура, перпендикулярна к В, т. е. к линии магнитной индукции в месте пересечения ее с

Поэтому силы, приложенные к различным элементам контура, образуют симметричный конический веер (рис. 46.4, б). Их результирующая F направлена в сторону возрастания В и, следовательно, втягивает контур в область более сильного поля. Очевидно, что чем сильнее изменяется поле (чем больше ), тем меньше угол раствора веера и тем больше, при прочих равных условиях, результирующая сила F. Если изменить направление тока на обратное (при этом станет противоположным В), направления всех сил и их результирующей F изменятся на обратные (рис. 46.4, в). Следовательно, при такой взаимной ориентации векторов и В контур будет выталкиваться из поля.

С помощью выражения (46.10) для энергии контура в магнитном поле легко найти количественное выражение для силы F. Если ориентация магнитного момента по отношению к полю остается неизменной ), то мех будет зависеть только от (через В). Продифференцировав по и изменив у результата знак, получим проекцию силы на ось х:

Рис. 46.4.

По предположению, в других направлениях поле изменяется слабо, поэтому проекциями силы на другие оси можно пренебречь и считать, что . Итак,

(46.11)

Согласно полученной нами формуле сила, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура относительно направления поля. Если векторы и В совпадают по направлению сила положительна, т. е. направлена в сторону возрастания В ( предполагается положительным; в противном случае знак и направление силы изменятся на противоположные, но сила по-прежнему будет втягивать контур в область сильного поля). Если и В антипараллельны ), сила отрицательна, т. е. направлена в сторону убывания В. Этот результат мы уже получили качественно с помощью рис. 46.4.

Разумеется, что, кроме силы (46 11), на контур с током в неоднородном магнитном поле будет действовать также вращательный момент (46.7).