§ 6. Потенциал

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. В любой точке этого поля на точечный заряд q действует сила

Здесь — модуль силы ; — орт радиуса-вектора , определяющего положение заряда q относительно заряда

Сила (6.1) является центральной (см. т. 1. § 21). Центральное поле сил консервативно. Следовательно, работа, которая совершается силами поля над зарядом q при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от пути. Эта работа равна

где — элементарное перемещение заряда q. Из рис. 6.1 видно, что скалярное произведение равно приращению модуля радиуса-вектора , т. е. Поэтому формулу (6.2) можно представить в виде

(ср. с формулой (21.3) 1-го тома). Подстановка выражения для дает

Рис. 6.1.

Работа сил консервативного поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

Сопоставление формул (6.3) и (6.4) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда q в поле заряда

Значение константы в выражении потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т. е. при ) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что

Воспользуемся зарядом q в качестве пробного заряда для исследования поля. Согласно (6.5) потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины q, но и от величин q и , определяющих поле.

Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, действующая на пробный заряд.

Разные пробные заряды и т. д. будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией и т. д. Однако отношение будет для всех зарядов одним и тем же (см. формулу (6.5)). Величина

называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля Е, для описания электрических полей.

Из (6.6) следует, что потенциал численно равен потенциалы; ной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный? положительный заряд. Подставив в (6.6) значение потенциали ной энергии (6.5), получим для потенциала точечного заряда; следующее выражение:

В гауссовой системе потенциал поля точечного заряда в вакууме определяет формулой

Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов

Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q, будет равна алгебраической сумме работ? сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности:

Согласно (6.3) каждая из работ А, равна

где — расстояние от заряда до начального положения заряда ; — расстояние от до конечного положения заряда q. Следовательно,

Сопоставив это выражение с соотношением (6.4), получим для потенциальной энергии заряда q в поле системы зарядов выражение

из которого следует, что

Сопоставление полученной формулы с выражением (6.7) приводит к выводу, что потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В то время как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов оказывается обычно гораздо проще, чем вычисление напряженностей электрического поля.

Из формулы (6.6) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом обладает потенциальной энергией

Следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов:

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках (т. е. на убыль потенциала).

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу нужно совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

Формулу (6.11) можно использовать для установления единиц потенциала. За единицу потенциала принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице.

Так, в СИ за единицу потенциала, называемую вольтом (сокращенное обозначение — В), принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль:

отсюда

За абсолютную электростатическую единицу потенциала (СГСЭ-ед. потенциала) принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного единице СГСЭ. нужно совершать работу в 1 эрг. Выражая в (6.12) I Дж и I Кл через единицы СГСЭ, найдем соотношение между вольтом и СГСЭ-ед. потенциала:

Таким образом, одна СГСЭ-единица потенциала равна 300 В.

В физике часто пользуются единицей энергии и работы, называемой электронвольтом (эВ). Под электронвольтом подразумевается работа, совершаемая силами поля над зарядом, равным заряду электрона (т. е. над элементарным зарядом ), при прохождении им разности потенциалов в 1 В:

Используются также кратные электронвольту единицы: