§ 49. Дивергенция и ротор магнитного поля

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому в соответствии с формулой (11.10) поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую, поверхность равен нулю.

Заменив в соответствии с (11.41) поверхностный интеграл в (49.1) объемным, получим, что

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю:

Теперь обратимся к циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу

Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 49.1; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции через ( — проекция элемента контура на направление вектора В)

Рис. 49.1.

Из рисунка видно, что равно где b — расстояние от провода с током до , — угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок Таким образом, подставив выражение (42.5) для В, получим

С учетом равенства (49.4) имеем

При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. ). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1—2), а затем в противоположном (участок ), вследствие чего равен нулю.

Учтя этот результат, можно написать

где под следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю.

Знак выражения (49.6) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол а). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (49.6) положительна, в противном случае — отрицательна. Знак можно учесть, полагая алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.

С помощью соотношения (49.6) легко восстановить в памяти формулу (42.5) для В поля прямого тока.

Рис. 49.2.

Рис. 49.3.

Представим себе плоский контур в виде окружности радиуса b (рис. 49.2). В каждой точке этого контура вектор В одинаков по величине и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна произведению В на длину окружности и соотношение (49.6) имеет вид

Отсюда (ср. с (42.5)).

Случай неплоского контура (рис. 49.3) отличается от рассмотренного выше случая плоского контура лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг провода, но и перемешается вдоль него. Все выкладки, приведшие нас к формуле (49.6), остаются справедливыми, если под подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен если контур охватывает ток, и нулю в противном случае.

Следовательно, мы снова приходимк формуле (49.6).

Формула (49.6) получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводу произвольной формы, например для кругового тока.

Допустим, что некоторый контур охватывает несколько проводов с токами. В силу принципа суперпозиции (см. (40.1))

Каждый из интегралов в этой сумме равен Следовательно,

(напомним, что — алгебраическая величина).

Если токи текут во всем пространстве, где расположен контур, алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, можно представить в виде

Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур. Вектор есть плотность тока в той точке, где расположена площадка ; — положительная нормаль к этой площадке (т. е. нормаль, образующая с направлением обхода по контуру при вычислении циркуляции правовинтовую систему).

Заменив в (49.7) сумму токов выражением (49.8), получим

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, придем к равенству

Полученное равенство должно выполйяться при произвольном выборе поверхности S, по которой берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитной индукции пропорционален вектору плотности тока в данной точке:

Коэффициент пропорциональности в СИ равен .

Отметим, что формулы (49.7) и (49.9) справедливы только для поля в вакууме в отсутствие меняющихся во времени электрических полей.

Итак, мы нашли дивергенцию и ротор магнитного поля в вакууме. Сравним полученные формулы с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме. Согласно (13.5), (12.3), (49.2) и (49.9)

Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Ротор электростатического поля равен нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано скалярным потенциалом <р. Ротор магнитного поля в тех точках, где есть ток, отличен от нуля. Соответственно циркуляция вектора В пропорциональна току, охватываемому контуром. Поэтому магнитному полю нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с В соотношением, аналогичным (8.2). Этот потенциал не был бы однозначным — при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное Поле, у которого ротор отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.

Поскольку дивергенция вектора В всюду равна нулю, этот вектор можно представить в виде ротора некоторой функции А:

(49.10)

(дивергенция ротора всегда равна нулю; см. (11.39)). Функция А называется векторным потенциалом магнитного поля. Некоторые сведения о векторном потенциале содержатся в Приложении III (стр. 486).