§ 45. Магнитное взаимодействие как релятивистский эффект

Между электричеством и магнетизмом имеется глубокая связь. Основываясь на постулатах теории относительности и на инвариантности электрического заряда, можно показать, что магнитное взаимодействие зарядов и токов является следствием закона Кулона. Мы покажем это на примере заряда, движущегося параллельно бесконечному прямому току со скоростью (рис. 45.1).

Согласно формуле (43.6) магнитная сила, действующая на заряд в рассматриваемом случае, равна

(смысл буквенных обозначений ясен из рис. 45.1). Направлена сила к проводнику с током .

Прежде чем приступить к выводу формулы (45.1), исходп из закона Кулона и релятивистских соотношений, рассмотрим следующий эффект. Пусть имеется бесконечная линейная цепочка точечных зарядов одинаковой величины , отстоящих друг от друга на малый отрезок (рис. 45.2).

В силу малости можно говорить о линейной плотности зарядов , которая, очевидно, равна

Приведем заряды в движение вдоль цепочки с одинаковой скоростью . Тогда расстояние между зарядами сократится и станет равным

(см. формулу (64.1) 1-го тома). Величина же зарядов вследствие их инвариантности останется прежней.

рис. 45.1.

Рис. 45.2.

В результате линейная плотность зарядов, наблюдаемая в системе отсчета, относительно которой заряды движутся, изменится и станет равной

Теперь рассмотрим в системе отсчета К две практически совмещенные друг с другом бесконечные цепочки, образованные зарядами одинаковой величины, но разных знаков, движущимися в противоположные стороны с одинаковой скоростью, и (рис. 45.3, а). Совокупность этих цепочек эквивалентна прямому бесконечному току силы

где к — величина, определяемая формулой (45.3). Суммарная линейная плотность зарядов цепочки равна нулю, поэтому электрическое поле отсутствует. На заряд q действует магнитная сила, величина которой согласно (45.1) и (45.4) равна

Перейдем в систему отсчета К, относительно которой заряд q покоится (рис. 45.3, б). В этой системе на заряд q также действует сила (обозначим ее F). Однако эта сила не может быть магнитного происхождения, поскольку заряд q неподвижен. Сила F имеет чисто электрическое происхождение. Возникает она потому, что линейные плотности положительных и отрицательных зарядов в цепочках теперь не одинаковы (ниже мы увидим, что плотность отрицательных зарядов больше). Избыточный отрицательный заряд, распределенный по цепочке, создает электрическое поле, которое действует на положительный заряд q с силой F, направленной к цепочке (см. рис. 45.3, б).

Вычислим силу F и убедимся в том, что она «равна» силе F, определяемой формулой (45.5). Мы взяли слово «равна» в кавычки, потому что сила не является инвариантной величиной. При переходе от одной инерциалыюй системы отсчета к другой сила преобразуется по довольно сложному закону.

Рис. 45.3.

В частном случае, когда сила F перпендикулярна к относительной скорости систем , преобразование имеет вид

( — измеренная в системе К скорость частицы, на которую действует сила F). Если (что имеет место в рассматриваемой нами задаче), формула преобразования силы выглядит следующим образом:

Из этой формулы вытекает, что перпендикулярная к сила, действующая на покоящуюся в системе К частицу, оказывается и в системе К перпендикулярной к вектору Модуль же силы в этом случае преобразуется по формуле

Плотности зарядов в положительной и отрицательной цепочках, измеренные в системе К, имеют величины (см. (45.3))

где — скорости зарядов , измеренные в системе К.

При переходе от системы К к системе К проекция скорости частицы на направление х, совпадающее с направлением преобразуется по формуле

(см. формулу (66.2) 1-го тома; мы заменили на ). Для зарядов компонента их равна и, для зарядов она равна (см. рис. 45.3, а). Следовательно,

Поскольку остальные проекции равны нулю, получаем

Для упрощения выкладок перейдем к относительным скоростям

Тогда формулы (45.7) и (45.8) примут вид

(45.10)

С учетом этих формул получаем для суммарной плотности зарядов выражение

Легко убедиться в том, что

Следовательно,

В соответствии с формулой (14.5) бесконечно длинная нить, несущая заряд плотности , создает поле, напряженность которого на расстоянии b от нити равна

В этом поле на заряд q действует сила

Подстановка выражения (45.11) дает (знак минус опускаем)

(напомним, что см. (39.15)).

Полученное выражение отличается от выражения (45.5) лишь множителем Следовательно, можно написать, что

где F — сила, определяемая, выражением (45.5), a F — сила, определяемая выражением (45.12). Сравнение с (45.6) показыва что F и F суть значения одной и той же силы, определенные в системах К и К.

Отметим, что в системе которая двигалась бы относительно системы К со скоростью, отличной от скорости заряда сила, действующая на заряд, слагалась бы из электрической и магнитной сил.

Полученные нами результаты означают, что электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле. При специальном выборе системы отсчета поле может оказаться чисто электрическим или чисто магнитным. Однако относительно других систем отсчета то же поле представляет собой совокупность электрического и магнитного полей.

В разных инерциальных системах отсчета электрическое и магнитное поля одной и той же совокупности зарядов оказываются различными. Вывод, выходящий за рамки курса общей физики, приводит к следующим формулам преобразования полей при переходе от системы отсчета К к движущейся относительно нее со скоростью системе отсчета К:

Здесь — компоненты векторов E и В, характеризующих электромагнитное поле в системе К, аналогичные символы со штрихами — компоненты векторов Е и В, характеризующих поле в системе буквой 0 обозначено отношение

Разложив векторы Е и В, а также Е и В на параллельные вектору (а значит, и осям ) и перпендикулярные к этому вектору составляющие (т. е. представив, например, Е в виде и т. д.), можно написать формулы (45.13) в векторном виде:

В гауссовой системе единиц формулы (45.14) имеют вид:

В случае, когда формулы (45.14) упрощаются следующим образом:

Сложив попарно эти выражения, получим

(45.16)

Поскольку векторы коллинеарны, их векторное произведение равно нулю. Поэтому Аналогично учетом этого формулам (45.16) можно придать вид

(45.17)

По этим формулам преобразовываются поля в случае, если относительная скорость систем отсчета много меньше скорости света в вакууме с

В гауссовой системе формулы (45.17) выглядят следующим образом:

(45.18)

В рассмотренном в начале этого параграфа примере в системе К, в которой заряд q двигался параллельно проводу с током со скоростью имелось только перпендикулярное к магнитное поле составляющие были равны нулю. Согласно формулам (45.14) в системе К, в которой заряд q покоится (эта система движется относительно К со скоростью ), наблюдается составляющая равная и, кроме того, перпендикулярная составляющая электрического поля

В системе К на заряд действует сила

(45.19)

Поскольку заряд q в системе К покоится, на него в этой системе действует лишь электрическая сила

(45.20)

Сопоставление формул (45.19) и (45.20) дает что совпадает с (45.6).