§ 21. Условия на границе двух диэлектриков

Вблизи поверхности раздела двух диэлектриков векторы Е и D должны удовлетворять определенным граничным условиям, которые вытекают из соотношений

(см. (12.3) и (19.8)).

Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с проницаемостями в] и 62 (рис. 21.1). Выберем на этой поверхности произвольно направленную ось х. Возьмем небольшой прямоугольный контур длины а и ширины Ь, который частично проходит в первом диэлектрике, частично — во втором. Ось х проходит через середины сторон Ь.

Рис. 21.1.

Рис. 21.2.

Пусть в диэлектриках создано поле, напряженность которого в первом диэлектрике равна а во втором Вследствие того, что , циркуляция вектора Е по выбранному нами контуру должна быть равна нулю (см. формулу (12.1)). При малых размерах контура и указанном на рис. 21.1 направлении обхода циркуляция вектора Е может быть представлена в виде

где — среднее значение на перпендикулярных к границе участках контура. Приравняв это выражение нулю, придем к соотношению

В пределе, при стремящейся к нулю ширине контура Ь, получается равенство

Значения проекций векторов на ось х берутся в непосредственной близости к границе диэлектриков.

Соотношение (21.3) выполняется при произвольном выборе оси х, нужно лишь, чтобы эта ось лежала в плоскости раздела диэлектриков. Из (21.3) следует, что при таком выборе оси х, при котором проекция также будет равна нулю. Это означает, что векторы в двух близких точках, взятых по разные стороны границы, лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела. Представим каждый из векторов в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих:

В соответствии с (21.3)

Здесь — проекция вектора Е» на орт , направленный вдоль линии пересечения плоскости раздела диэлектриков с плоскостью, в которой лежат векторы

Заменив согласно (19.6) проекции вектора Е проекциями вектора D, деленными на получим соотношение

из которого следует, что

Теперь возьмем на границе диэлектриков воображаемую цилиндрическую поверхность высоты h (рис. 21.2). Основание расположено в первом диэлектрике, основание — во втором. Оба основания одинаковы по величине и настолько малы, что в пределах каждого из них поле можно считать однородным. Применим к этой поверхности теорему Гаусса (см. (19.10)). Если сторонних зарядов на границе между диэлектриками нет, правая часть в (19.10) равна нулю. Следовательно,

Поток через основание равен где — проекция вектора D в первом диэлектрике на нормаль Аналогично поток через основание равен где — проекция вектора D во втором диэлектрике на нормаль Поток через боковую поверхность можно представить в виде где — значение усредненное по всей боковой поверхности, величина этой поверхности. Таким образом, можно написать

Если устремить высоту цилиндра h к нулю, также будет стремиться к нулю. Поэтому в пределе получится соотношение

Здесь — проекция на , вектора D в диэлектрике в непосредственной близости к его границе с другим диэлектриком. Знаки проекций оказались разными вследствие того, что нормали к основаниям цилиндра имеют противоположные направления. Если проектировать на одну и ту же нормаль, получится условие

Заменив согласно (19.6) проекции D соответствующими проекциями вектора Е, умноженными на получим соотношение

из которого следует, что

Полученные нами результаты означают, что при переходе через границу раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора D и тангенциальная составляющая вектора Е изменяются непрерывно. Тангенциальная же составляющая вектора D и нормальная составляющая вектора Е при переходе через границу раздела претерпевают разрыв.

Соотношения (21.4), (21.5), (21.7) и (21.8) определяют условия, которым должны удовлетворять векторы Е и D на границе двух диэлектриков (в том случае, если на этой границе нет сторонних зарядов). Мы получили эти соотношения для электростатического поля. Однако они справедливы и для полей, изменяющихся со временем (см. § 112).

Найденные нами условия справедливы и для границы диэлектрика с вакуумом. В этом случае одну из диэлектрических проницаемостей нужно положить равной единице.

Заметим, что условие (21.7) можно получить, исходя из того факта, что линии смещения проходят через границу раздела двух диэлектриков, не прерываясь (рис. 21.3). В соответствии с правилом проведения линий число линий, приходящих к площадке из первого диэлектрика, равно Аналогично число линий, выходящих из площадки во второй диэлектрик, равно Если линии не терпят на границе разрыва, оба эти числа должны быть одинаковыми:

Сократив на и приняв во внимание, что произведение дает величину нормальной составляющей вектора D, придем к условию (21.7).

Рис. 21.3.

Рис. 21.4.

На границе диэлектриков линии смещения терпят излом (преломляются), вследствие чего угол а между нормалью к поверхности раздела и линией D изменяется. Из рис. 21.4 следует что

откуда с учетом формул (21.5) и (21.7) получается закон преломления линий электрического смешения:

При переходе в диэлектрик с меньшей угол, образуемый линиями смещения с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже; при переходе в диэлектрик с большей линии смещения, напротив, сгущаются.