§ 122. Интерференция света при отражении от тонких пластинок

При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку (или пленку) происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают две световые волны, которые при известных условиях могут интерферировать.

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает плоская световая волна, которую можно рассматривать как параллельный пучок лучей (рис. 122.1). Пластинка отбрасывает вверх два параллельных пучка света, из которых один образовался за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй — вследствие отражения от нижней поверхности (на рис. 122.1 каждый из этих пучков представлен только одним лучом). При входе в пластинку и при выходе из нее второй пучок претерпевает преломление. Кроме этих двух пучков, пластинка отбросит вверх пучки, возникающие в результате трех-, пяти- и т. д. кратного отражения от поверхностей пластинки. Однако ввиду их малой интенсивности мы эти пучки принимать во внимание не будем. Не будем также интересоваться пучками, прошедшими через пластинку.

Разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в точке С, равна

(122.1)

где — длина отрезка ВС, — суммарная длина отрезков АО и ОС, — показатель преломления пластинки.

Показатель преломления среды, окружающей пластинку, полагаем равным единице. Из рис. 122.1 видно, что толщина пластинки). Подстановка этих значений в выражение (122.1) дает, что

Произведя замену и учтя, что

легко привести формулу для к виду

(122.2)

При вычислении разности фаз между колебаниями в лучах 1 и 2 нужно, кроме оптической разности хода , учесть возможность изменения фазы волны при отражении (см. § 112). В точке С (см. рис. 122.1) отражение происходит от границы раздела среды, оптически менее плотной, со средой, оптически более плотной. Поэтому фаза волны претерпевает изменение на . В точке О отражение происходит от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной, так что скачка фазы не происходит. В итоге между лучами 1 и 2 возникает дополнительная разность фаз, равная Ее можно учесть, добавив к (или вычтя из нее) половину длины волны в вакууме. В результате получим

(122.3)

Итак, при падении на пластинку плоской волны образуются две отраженные волны, разность хода которых определяется формулой (122.3). Выясним условия, при которых эти волны окажутся когерентными и смогут интерферировать. Рассмотрим два случая.

1. Плоскопараллельная пластинка. Обе плоские отраженные волны распространяются в одном направлении, образующем с нормалью к пластинке угол, равный углу падения .

Рис. 122.1.

Эти волны смогут интерферировать, если будут соблюдены условия как временной, так и пространственной когерентности.

Для того чтобы имела место временная когерентность, разность хода (122.3) не должна превышать длину когерентности; равную (см. формулу (120.9)). Следовательно, должно соблюдаться условие

или

В полученном соотношении половиной можно пренебречь по сравнению с Выражение имеет величину порядка единицы. Поэтому можно написать

(удвоенная толщина пластинки должна быть меньше длины когерентности).

Таким образом, отраженные волны будут когерентными только в том случае, если толщина пластинки не превышает величины, определяемой соотношением (122.4). Положив , получим предельное значение толщины, равное

(122.5)

Теперь рассмотрим условия соблюдения пространственной когерентности. Поставим на пути отраженных пучков, экран Э (рис. 122.2). Приходящие в точку Р лучи и отстоят в падающем пучке на расстояние . Если это расстояние не превышает радиуса когерентности рког падающей волны, лучи 1 и 2 будут когерентными и создадут в точке Р освещенность, определяемую значением разности хода , отвечающим углу падения Другие пары лучей, идущие под тем же углом создадут в остальных точках экрана такую же освещенность. Таким образом, экран окажется равномерно освещенным (в частном случае, когда экран будет темным). При изменении наклона пучка (т. е. при изменении угла ) освещенность экрана будет меняться.

Из рис. 122.1 видно, что расстояние между падающими лучами 1 и 2 равно

(122.6)

Если принять то для получается а для

Для нормального падения при любом .

Радиус когерентности солнечного света имеет значение порядка 0,05 мм (см. (120.15)). При угле падения в 45° можно положить Следовательно, для возникновения интерференции в этих условиях должно выполняться соотношение

(122.7)

(ср. с (122.5)). Для угла падения порядка 10° пространственная когерентность будет сохраняться при толщине пластинки, не превышающей 0,5 мм. Таким образом, мы приходим к выводу, что вследствие ограничений, накладываемых временной и пространственной когерентностями, интерференция при освещении пластинки солнечным светом наблюдается только в том случае, если толщина пластинки не превышает нескольких сотых миллиметра. При освещении светом с большей степенью когерентности интерференция наблюдается и при отражении от более толстых пластинок или пленок.

Рис. 122.2.

Рис. 122.3.

Практически интерференцию от плоскопараллельной пластинки наблюдают, поставив на пути отраженных пучков линзу, которая собирает лучи в одной из точек экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы (рис. 122.3). Освещенность в этой точке зависит от значения величины (122.3). При получаются максимумы, при — минимумы интенсивности ( — целое число). Условие максимума интенсивности имеет вид

(122.8)

Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом (см. рис. 122.3). Расположим параллельно пластинке линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений.

Лучи, параллельные плоскости рисунка и падающие на пластинку под углом после отражения от обеих поверхностей пластинки соберутся линзой в точке Р и создадут в этой точке освещенность, определяемую значением оптической разности хода. Лучи, идущие в других плоскостях, но падающие на пластинку под тем же углом соберутся линзой в других точках, отстоящих от центра экрана О на такое же расстояние, как и точка Р. Освещенность во всех этих точках будет одинакова. Таким образом, лучи, падающие на пластинку под одинаковым углом создадут на экране совокупность одинаково освещенных точек, расположенных по окружности с центром в О. Аналогично, лучи, падающие под другим углом Ф" создадут на экране совокупность одинаково (но иначе, поскольку Д иная) освещенных точек, расположенных по окружности другого радиуса. В результате на экране возникнет система чередующихся светлых и темных круговых полос с общим центром в точке О. Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым углом Поэтому получающиеся в описанных условиях интерференционные полосы носят название полос равного наклона. При ином расположении линзы относительно пластинки (экран во всех случаях должен совпадать с фокальной плоскостью лйнзы) форма полос равного наклона будет другой.

Каждая точка интерференционной картины обусловлена лучами, образующими до прохождения через линзу параллельный пучок. Поэтому при наблюдении полос равного наклона экран должен располагаться в фокальной плоскости линзы, т. е. так, как его располагают для получения на нем изображения бесконечно удаленных предметов. В соответствии с этим говорят, что полосы разного наклона локализованы в бесконечности. Роль линзы может играть хрусталик, а экрана — сетчатка глаза. В этом случае для наблюдения полос равного наклона глаз должен быть аккомодирован так, как при рассматривании очень удаленных предметов.

Согласно формуле (122.8) положение максимумов зависит от длины волны Поэтому в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных цветов, и интерференционная картина приобретает радужную окраску. Возможность наблюдения интерференционной картины в белом свете определяется способностью глаза различать оттенки света близких длин волн. Лучи, отличающиеся по длине волны менее чем на 20 А, средний глаз воспринимает как имеющие одинаковый цвет. Поэтому для оценки условий, при которых может наблюдаться интерференция от пластинок в белом свете, следует положить равным 20 А. Именно такое значение было нами взято при оценке толщины пластинки (см. (122.5)).

2. Пластинка переменной толщины. Возьмем пластинку в виде клина с углом при вершине (рис. 122.4).

Пусть на нее падает параллельный пучок лучей. Теперь лучи, отразившиеся от разных поверхностей пластинки, не будут параллельными. Два до падения на пластинку практически сливающихся луча (на рис. 122.4 они изображены в виде одной прямой линии, обозначенной цифрой ) пересекаются после отражения в точке Q. Два практически сливающихся луча 1" пересекаются в точке Можно показать, что точки Q, Q" и другие аналогичные им точки лежат в одной плоскости, проходящей через вершину клииа О. Отразившийся от нижней поверхности клина луч V и отразившийся от верхней поверхности луч 2 пересекутся в точке R, расположенной ближе к клину, чем Q. Аналогичные лучи Г и 3 пересекутся в точке Р, отстоящей от поверхности клина дальше, чем

Рис. 122.4.

Направления распространения волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей клииа, не совпадают. Временная когерентность будет соблюдаться только для частей волн, отразившихся от мест клина, для которых толщина удовлетворяет условию (122.4). Допустим, что это условие выполняется для всего клина. Кроме того, предположим, что радиус когерентности намного превышает длину клина. Тогда отраженные волны будут когерентными во всем пространстве над клином, и при любом расстоянии экрана от клина нем будет наблюдаться интерференционная картина в виде полос, параллельных вершине клина О (см. три последних абзаца § 119). Так, в частности, обстоит дело при освещении клина светом, испускаемым лазером.

При ограниченной пространственной когерентности область локализации интерференционной картины (т. е. область пространства, располагая в которой экран можно наблюдать на нем интерференционную картину) также оказывается ограниченной. Если расположить экран так, чтобы он проходил через точки (см. экран Э на рис. 122.4), на экране возникнет интерференционная картина даже в том случае, если пространственная когерентность падающей волны крайне мала (в точках экрана пересекаются лучи, которые до падения на клин совпадали).

При малом угле клина разность хода лучей можно с достаточной степенью точности вычислять по формуле (122.3), беря в качестве b толщину пластинки в месте падения на нее лучей. Поскольку разность хода для лучей, отразившихся от различных участков клина, теперь неодинакова, освещенность экрана будет неравномерной — на экране появятся светлые и темные полосы (см. на рис. 122.4 пунктирную кривую, показывающую освещенность экрана Э). Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, вследствие чего их называют полосами равной толщины.

При смещении экрана из положения Э в направлении от клина или к клину начинает сказываться степень пространственной когерентности падающей волны. Если в положении экрана, обозначенном на рис. 122.4 через Э, расстояние между падающими лучами 1 и 2 станет порядка радиуса когерентности, интерференционная картина на экране Э наблюдаться не будет. Аналогично картина исчезает в положении экрана, обозначенном через

Рис. 122.5.

Таким образом, интерференционная картина, получающаяся при отражении от клина плоской волны, оказывается локализованной в некоторой области вблизи поверхности клина, причем эта область тем уже, чем меньше степень пространственной когерентности падающей волны. Из рис. 122.4 видно, что по мере приближения к вершине клина становятся более благоприятными условия как временной, так и пространственной когерентности. Поэтому отчетливость интерференционной картины уменьшается при перемещении от вершины клина к его основанию. Может случиться, что картина наблюдается только для более тонкой части клина. Для остальной части на экране возникает равномерная освещенность.

Практически полосы равной толщины наблюдают, поместив вблизи клина линзу и за ней экран (рис. 122.5). Роль линзы может играть хрусталик, а роль экрана — сетчатка глаза. Если экран за линзой расположен в плоскости, сопряженной с плоскостью, обозначенной на рис. 122.4 через Э (соответственно глаз аккомодирован на эту плоскость), картина будет наиболее четкой. При перемещении экрана, на который проектируется изображение (либо при перемещении линзы), картина будет ухудшаться и исчезнет совсем, когда плоскость, сопряженная с экраном, выйдет за пределы области локализации интерференционной картины, наблюдаемой без линзы.

При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными, так что поверхность пластинки или пленки представляется имеющей радужную окраску. Такую окраску имеют, например, расплывшиеся на поверхности воды тонкие пленки нефти или масла, а также мыльные пленки. Цвета побежалости, возникающие на поверхности стальных изделий при их закалке, тоже обусловлены интерференцией от пленки прозрачных окислов.

Сопоставим два рассмотренных нами случая интерференции при отражении от тонких пленок. Полосы равного наклона получаются при освещении пластинки постоянной толщины ) рассеянным светом, в котором содержатся лучи различных направлений варьирует в более или менее широких пределах). Локализованы полосы равного наклона в бесконечности. Полосы равной толщины наблюдаются при освещении пластинки непостоянной толщины изменяется) параллельным пучком света ). Локализованы полосы равной толщины вблизи пластинки. В реальных условиях, например при наблюдении радужных цветов на мыльной или масляной пленке, изменяется как угол падения лучей, так и толщина пленки. В этом случае наблюдаются полосы смешанного типа.

Заметим, что интерференция от тонких пленок может наблюдаться не только в отраженном, но и в проходящем свете.

Кольца Ньютона. Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластинки и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 122.6). Роль тонкой пленки, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вследствие большой толщины пластинки и линзы за счет отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении — эллипсов. Найдем радиусы колец Ньютона, получающихся при падении света по нормали к пластинке. В этом случае и оптическая разность хода равна удвоенной толщине зазора (см. формулу (122.2); предполагается, что в зазоре ). Из рис. 122.6 следует, что

(122.9)

где R — радиус кривизны линзы, — радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор

Рис. 122.6.

Ввиду малости b мы пренебрегли величиной по сравнению с . В соответствии с (122.9) . Чтобы учесть возникающее при отражении от пластинки изменение фазы на нужно к прибавить . В результате получится

(122.10)

В точках, для которых возникнут максимумы, в точках, для которых — минимумы интенсивности. Оба условия можно объединить в одно:

причем четным значениям будут соответствовать максимумы, а нечетным — минимумы интенсивности. Подставив сюда выражение (122.10) для и разрешив получившееся уравнение относительно , найдем радиусы светлых и темных колец Ньютона:

(122.11)

Четным соответствуют радиусы светлых колец, нечетным — радиусы темных колец. Значению соответствует т. е. точка в месте касания пластинки и линзы. В этой точке наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы на при отражении световой волны от пластинки.

Просветление оптики. Интерференция при отражении от тонких пленок лежит в основе просветления оптики. Прохождение света через каждую преломляющую поверхность линзы сопровождается отражением примерно 4% падающего света. В сложных объективах такие отражения совершаются многократно и суммарная потеря светового потока достигает заметной величины. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводят к возникновению бликов. В просветленной оптике для устранения отражения света на каждую свободную поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления иным, чем у линзы. Толщина пленки подбирается так, чтобы волны, отраженные от обеих ее поверхностей, погашали друг друга. Особенно хороший результат достигается в том случае, если показатель преломления пленки равен корню квадратному из показателя преломления линзы. При этом условии интенсивность обеих отраженных от поверхностей пленки волн одинакова.