Приложение III. Векторный потенциал

В § 49 мы отметили, что магнитную индукцию В можно представить в виде

где А — некоторая функция, называемая векторным потенциалом. Такое представление возможно в связи с тем, что дивергенция ротора всегда равна нулю. Поэтому условие при таком представлении выполняется автоматически.

Подобно скалярному потенциалу электрического поля векторный потенциал А определяется неоднозначно. Добавление к А градиента произвольной функции не изменяет значения т. е. В. Действительно, заменим А через Согласно (11.38) ротор градиента любой функции рааеи иулю. Поэтому

Таким образом, функция

равно как и А, будет векторным потенциалом данного магнитного поля.

Взяв дивергенцию от функции (III.2), получим

Подбором функции можно придать любое наперед заданное, в частности нулевое, значение. Таким образом, векторный потенциал всегда можно выбрать так, чтобы его дивергенция равнялась нулю:

(III.3)

т. е. так, чтобы поле А не имело источников.

Заметим, что даже при выполнении условия (III.3) функция А остается неоднозначной. Для того чтобы определение векторного потенциала было однозначным, надо задать граничные условия для А.

Уравнение Пуассона. В соответствии с (13.5) для поля в вакууме

Заменим в этом соотношении Е на :

Левая часть формулы представляет собой где — оператор Лапласа. Таким образом, мы приходим к уравнению

которое называется уравнением Пуассона. В развернутом виде это уравнение выглядит следующим образом:

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, распределенных с плотностью , можно получить с помощью принципа суперпозиции и выражения для потенциала точечного заряда. Пометив штрихом переменные, по которым производится интегрирование, получим

Функция (111.6) представляет собой решение уравнения (III.4).

Подставим в формулу (49.9) вместо В ротор А:

Преобразовав левую часть по формуле (11.40), получим

Выбрав А так, чтобы выполнялось условие (III.3), придем к уравнению

(III.7)

которое сходно с (III.4) и представляет собой урввиенне Пуассона для векторного потенциала.

Уравнение (III.7) эквивалентно трем скалярным уравнениям:

(III.8)

Решение этих уравнений можно получить, заменив в (III.6) функцию ) функцией уравнения (III.4) и (III.8)). В результате получим

Три выражения (III.9) можно объединить в одно векторное:

Отметим, что интегрирование в формулах (III.9) и (111.10) распространяется на всю область, в которой текут токи, создающие поле.

Формула (III. 10) позволяет по извеагному распределению токов в пространстве вычислить векторный потенциал поля, создаваемого этими токами. Определив затем ротор векторного потенциала, найдем магнитную индукцию В поля.

Закон Био — Савара. Вычислим векторный потенциал, создаваемый током текущим по тонкому проводу. Разобьем провод на элементы длины и сопоставим каждому элементу вектор модуль которого равен а направление совпадает с направлением вектора плотности тока j в данном элементе провода (рис. III.1). Положение элемента относительно начала координат О определяется радиусом-вектором , а положение точки Р, в которой определяется векторный потенциал, — радиусом-вектором . Согласно формуле (III.10) элемент тока вносит в векторный потенциал в точке с радиусом-вектором вклад, равный

(III.11)

где S — площадь поперечного сечения провода в точке , — объем элемента Поскольку векторы и имеют одинаковое направление, числитель формулы (III.II) можно преобразовать следующим образом:

где — сила тока, текущего в проводе. Таким образом, формуле (111.11) можно придать вид

Отметим, что есть приращение вектора на отрезке

Векторный потенциал в точке Р равен сумме выражений (III.12)

Рис. III.1.

Чтобы подчеркнуть, что положение отрезка относительно начала координат О определяется радиусом-вектором , мы записали его в виде Интегрирование производится по всей длине провода.

Магнитная индукция в точке Р определяется ротором функции (III.13)

(постоянные скалярные величины мы вынесли за знак ротора).

Интегрирование в формуле (III.14) осуществляется по штрихованным координатам (по координатам точки, в которой находится элемент ), а дифференцирование при вычислении ротора — по иештрихованным координатам (по координатам точки ; чтобы подчеркнуть это мы снабдили оператор у индексом ). Поэтому операции интегрирования и вычисления ротора можно поменять местами. В результате формула (III. 14) примет вид

Ротор в выражении (III.15) берется от произведения вектора на скаляр Согласно правилам дифференцирования ротор в этом случае состоит из двух слагаемых, в одном которых оператор у, действует на векторный сомножитель, а во втором — на скалярный сомножитель. Векторный сомножитель не содержит нештрихованных координат. Поэтому первое слагаемое равно нулю. Следовательно, подынтегральная функция в (III.15) может быть представлена в виде

Несложные вычисления дают для градиента функции (при нахождении градиента дифференцирование осуществляется по координатам значение — . С учетом этого формула (III.15) принимает вид

Мы пришли к закону Био—Савара (см. формулу (42.3), в которой соответствует в формуле (III.16)).

Поле на больших расстояниях от контура с током. Найдем с помощью векторного потенциала магнитную индукцию В поля, создаваемого плоским контуром с током на расстояниях, значительно ббльшнх линейных размеров контура.

Выберем оси х и у в плоскости контура, причем так, чтобы направление тока образовывало с осью правовинтовую систему (рис. III.2; обозначения на этом рисунке те же, что и на рис. III.1) - Согласно формуле (III.13)

Интеграл теперь берется по замкнутому контуру.

Воспользовавшись тем, что по условию , сохраним в подинтегральном выражении только члены порядка отбросив члены более высоких порядков малости.

С учетом этого функцию можно представить в виде

(III.18)

(мы отбросили под корнем слагаемое ). Поскольку , цепочку преобразований (III. 18) можно продолжить следующим образом:

Заменив подынтегральную функцию в (III.17) ее приближенным выражением (III. 19), получим

(III.20)

(мы воспользовались тем, что не зависит от штрихованных координат). Первое слагаемое равно нулю, поскольку

Рис. III.2.

Рис. III.3.

Преобразуем второе слагаемое, выразив скалярное произведение через компоненты перемножаемых векторов и представив в виде (напомним, что х и у — координаты точки, в которой находится этой точки равно нулю). В результате выражение (III.20) примет вид

(III.21)

Нештрихованные координаты мы вынесли за знак интегралов, поскольку интегрирование производится по штрихованным координатам.

Под знаком интеграла стоит дифференциал функции . Интеграл от полного дифференциала, взятый по замкнутому пути, равен нулю.

Аналогично равен нулю . Поэтому выражение (III.21) упрощается следующим образом:

(III.22)

Из рис. III.3 вндио, что первый интеграл в (III.22) равен площади контура S, взятой со знаком минус, а второй интеграл — площади S, взятой со знаком плюс. Таким образом,

(III.23)

Введем положительную нормаль к плоскости контура, т. е. вектор с компонентами (0,0,1) и вычислим векторное произведение

Сравнение с (III.23) показывает, что выражение для векторного потенциала можно представить в виде

Множитель представляет собой магнитный момент контура (см. формулу (46.5)). Следовательно,

(III.24)

Из полученного выражения вытекает, что вектор А в каждой точке Р перпендикулярен к плоскости, проходящей через направление вектора и точку Р (см. рис. III.2).

Заменив на представим выражение (III.23) в виде

(III.25)

Вычислив ротор функции (II 1.25), найдем магнитную индукцию поля:

С помощью формулы (III.26) можно вычислить В в любой точке, расстояние которой от контура много больше линейных размеров контура. По этой формуле для точек , лежащих на оси , получается значение

(III.27)

().

Формула (III.27) совпадает с формулой (4.7.2), полученной для кругового контура. Для точек (х, у, 0), лежащих в плоскости контура,

(ср. с формулами (9.9) и (9.10)).

Найдем модуль вектора В в точке с координатами . Согласно формуле (III.26)

Путем несложных выкладок можно убедиться в том. что выражение фигурных скобках можно представить в внде

где О — угол между вектором и направлением на точку Р (см. рис. III.2). Таким образом, мы приходим к выражению

(см. формулу (47.6)).