Циркуляция.

Обратимся снова к течению идеальной несжимаемой жидкости. Представим себе замкнутую линию — контур Г. Предположим, что каким-то способом мы заморозим мгновенно жидкость во всем объеме, за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Г (рис. 11.8). В зависимости от характера поля вектора скорости жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо будет двигаться вдоль контура (циркулировать) в одном из двух, возможных направлений. В качестве меры этого движения возьмем величину, равную произведению скорости жидкости в канале на длину контура I. Эту величину назвали циркуляцией вектора v по контуру . Итак,

(поскольку канал по предположению имеет постоянное сечение, модуль скорости ).

В момент затвердевания стенок у каждой из частиц жидкости в канале будет погашена составляющая скорости, перпендикулярная к стенке, и останется лишь составляющая скорости, касательная к контуру, т. е. . С этой составляющей связан импульс модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длины имеет величину ( — плотность жидкости, а — площадь поперечного сечения канала). Так как жидкость идеальна, действие стенок может изменить лишь направление вектора но не его величину. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма тангенциальных составляющих импульсов не может измениться: импульс, приобретаемый одной из взаимодействующих частиц, равен импульсу, теряемому второй частицей. Это означает, что

где v — скорость циркуляции, — касательная составляющая скорости жидкости в объеме в момент времени, предшествующий затвердеванию стенок канала Сократив на получим, что

Аналогично определяется циркуляция любого вектора а по произ вольному замкнутому контуру

(11.16)

Может показаться, что для отличия циркуляции от нуля векторные линии должны быть замкнутыми или хотя бы как-то изогнутыми в направлении обхода по контуру. Легко убедиться в ошибочности такого предположения. Рассмотрим ламинарное течение жидкости в реке. Скорость жидкости непосредственно у дна равна нулю и возрастает при приближении к поверхности воды (рис. 11.9). Линии тока (линии вектора v) прямолинейны. Несмотря на это, циркуляция вектора v по изображенному пунктиром контуру, очевидно, отлична от нуля. Вместе с тем в поле с изогнутыми линиями циркуляция может оказаться равной нулю.

Рис. 11.8.

Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это означает, что сумма циркуляций по контурам , ограничивающим смежные поверхности (рис. 11.10), равна циркуляции по контуру Г, ограничивающему поверхность S, являющуюся суммой поверхностей

Рис. 11.9.

Рис. 11.10.

Действительно, циркуляция по контуру, граничивающему поверхность может быть представлена как сумма интегралов:

Первый интеграл берется по участку I внешнего контура, второй — по общей границе поверхностей в направлении 2—1.

Аналогично, циркуляция по контуру, ограничивающему поверхность равна

(11.18)

Первый интеграл берется по участку II внешнего контура, второй — по общей границе поверхностей в направлении 1—2.

Циркуляция по контуру, ограничивающему суммарную поверхность S, может быть представлена в виде

(11.19)

Вторые слагаемые в выражениях (11.17) и (11.18) отличаются только знаком. Поэтому сумма этих выражений оказывается равной выражению (11.19). Таким образом,

(11.20)

Доказанное соотношение не зависит от формы поверхностей и справедливо при любом числе слагаемых. Следовательно, если разбить произвольную незамкнутую поверхность S на большое число элементарных поверхностей (рис. 11.11), то циркуляция по контуру, ограничивающему S, может быть представлена как сумма элементарных циркуляций по контурам, ограничивающим

(11-21)

Ротор. Аддитивность циркуляции позволяет ввести понятие удельной циркуляции, т. е. рассматривать отношение циркуляции С к величине поверхности S, «обтекаемой» циркуляцией. При конечных размерах поверхности S отношение дает среднее значение удельной циркуляции. Это значение характеризует свойства поля, усредненные по поверхности S. Чтобы получить характеристику поля в точке Р, нужно уменьшать размеры поверхности, стягивая ее в точку Р. При этом отношение стремится к некоторому пределу, который характеризует свойства поля в точке Р.

Рис. 11.11.

Итак, возьмем воображаемый контур Г, лежащий в плоскости, проходящей через точку Р, и рассмотрим выражение

(11.22)

где — циркуляция вектора а по контуру Г, S — площадь, охватываемая контуром. Вычисленный для произвольно ориентированной плоскости предел (11.22) не может служить исчерпывающей характеристикой поля в точке Р, поскольку величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р, но также и от ориентации контура в пространстве. Эта ориентация может быть задана направлением положительной нормали к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура при интегрировании правилом правого винта). Определяя предел (11.22) в одной и той же точке Р для разных направлений , мы будем получать различные значения, причем для противоположных направлений эти значения отличаются только знаком (изменение направления на противоположное эквивалентно изменению направления обхода по контуру во время интегрирования, что вызовет лишь изменение знака у циркуляции).

Для какого-то направления нормали величина (11.22) в данной точке окажется максимальной.

Таким образом, величина (11.22) ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение величины (11.22) определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали , при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется ротором (или вихрем) вектора а. Обозначается он символом rota. Используя это обозначение, можно записать выражение (11.22) в виде

(11.23)

Наглядное представление о роторе вектора v можно получить, представив себе небольшую легкую крыльчатку, помещенную в данную точку текущей жидкости (рис. 11.12). В тех местах, где ротор отличен от нуля, крыльчатка будет вращаться, причем с тем большей скоростью, чем больше по величине проекция ротора на ось крыльчатки.

Выражение (11.23) определяет вектор rotа. Это определение является самым общим, не зависящим от вида координатной системы. Для того чтобы найти выражения для проекций вектора rota на оси декартовой системы координат, нужно определить значения величины (11.23) для таких ориентаций площадки S, при которых нормаль к площадке совпадает с одной из осей х, у, z. Если, например, направить по оси х, то (11.23) превратится в (rota). Контур Г расположен в этом случае в плоскости, параллельной координатной плоскости yz. Возьмем этот контур в виде прямоугольника со сторонами (рис. 11.13; ось х имеет на этом рисунке направление на нас; указанное на рисунке направление обхода связано с направлением оси х правилом правого винта). Участок 1 контура противоположен по направлению оси 2. Поэтому на этом участке совпадает с Рассуждая аналогично, найдем, что на участках 2, 3 и 4 равна соответственно Следовательно, циркуляцию можно представить в виде

(11.24)

где — средние значения на участках 3 и соответственно, — средние значения на участках 4 и 2.

Рис. 11.12.

Рис. 11.13.

Разность представляет собой приращение среднего значения на отрезке при смещении этого отрезка в направлении оси у на . Ввиду малости это приращение можно представить в виде где значение берется в точке Р. Аналогично разность можно представить в виде Подставив эти выражения в (11.24) и вынеся общий множитель за скобки, получим для циркуляции выражение

где — площадь контура. Разделив циркуляцию на , найдем выражение для проекции rota на ось х:

Путем аналогичных рассуждений можно найти, что

(1.1.27)

Легко убедиться в том, что любое из выражений (11.25)—(11.27) может быть получено из предыдущего (для (11.25) предыдущим следует считать (11.27)) путем так называемой циклической перестановки координат, т. е. замены координат, осуществляемой по схеме

Итак, ротор вектора а определяется в декартовой системе координат следующим выражением:

Ниже мы укажем более изящный способ записи этого выражения.