§ 61. Электродвижущая сила индукции

В предыдущем параграфе мы выяснили, что изменения магнитного потока Ф через контур вызывают возникновение в контуре электродвижущей силы индукции Чтобы найти связь между и скоростью изменения Ф, рассмотрим следующий пример.

Возьмем контур с подвижной перемычкой длины (рис. 61.1, а). Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за чертеж. Приведем перемычку в движение со скоростью v. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители тока в перемычке — электроны. В результате на каждый электрон начнет действовать направленная вдоль перемычки магнитная сила.

(см. (43.3); заряд электрона равен ). Действие этой силы эквивалентно действию на электрон электрического поля напряженности

Это поле неэлектростатического происхождения. Его циркуляция по контуру дает величину э. д. с., индуцируемой в контуре:

(подынтегральная функция отлична от нуля лишь на образуемом перемычкой участке ).

Чтобы по знаку можно было судить о направлении, в котором действует э. д. с., будем считать положительной в том случае, когда ее направление образует с направлением нормали к контуру правовинтовую систему.

Выберем нормаль так, как показано на рис. 61.1. Тогда при вычислении циркуляции нужно обходить контур по часовой стрелке и соответственно выбирать направление векторов

Если вынести в (61.2) постоянный вектор за знак интеграла, получим

где 1 — вектор, показанный на рис. 61.1, б. Осуществим в полученном выражении циклическую перестановку сомножителей, после чего умножим и разделим его на

Рис. 61.1.

Из рис. 61.1, б видно, что

где — приращение плошади контура за время По определению потока выражение представляет собой поток через площадку т. е. приращение потока через контур. Таким образом,

С учетом этого выражению (61.3) можно придать вид

Мы получили, что имеют противоположные знаки. Знак потока и знак связаны с выбором направления нормали к плоскости контура.

При сделанном нами выборе нормали (см. рис. 61.1) знак положительный, а знак отрицательный. Если бы мы выбрали нормаль, направленную не за чертеж, а на нас, знак был бы отрицательным, а знак положительным.

Единицей потока магнитной индукции в СИ служит вебер который представляет собой поток через поверхность в 1 м , пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В, равной При скорости изменения потока, равной в контуре индуцируется э. д. с., равная 1 В.

В гауссовой системе формула (61.4) имеет вид

Единицей Ф в этой системе является максвелл (Мкс), равный потоку через поверхность в при Формула (61.5) дает в СГСЭ-единицах потенциала. Чтобы получить в вольтах, нужно умножить полученный результат на 300. Поскольку

В рассуждениях, которые привели нас к формуле (61.4), роль сторонних сил, поддерживающих ток в контуре, играют магнитные силы. Работа этих сил над единичным положительным зарядом, равная по определению э.д.с., оказывается отличной от нуля. Это обстоятельство находится в кажущемся противоречии с высказанным в § 43 утверждением о том, что магнитная сила работы над зарядом совершать не может. Противоречие устраняется, если учесть, что сила (61.1) представляет собой не полную магнитную силу, действующую на электрон, а лишь параллельную проводу составляющую этой силы, обусловленную скоростью v (см. силу на рис. 61.2). Под действием этой составляющей электрон приходит в движение вдоль провода со скоростью , в результате чего возникает перпендикулярная к проводу составляющая магнитной силы

(эта составляющая не вносит вклада в циркуляцию, так как перпендикулярна к ).

Полная магнитная сила, действующая на электрон,

а работа этой силы над электроном за время

(направления векторов и и одинаковы, а векторов и v противоположны; см. рис. 61.2).

Рис. 61.2.

Подставив значения модулей сил: получим, что работа полной магнитной силы равна нулю.

Сила направлена противоположно скорости перемычки v. Поэтому, для того чтобы перемычка перемещалась с постоянной скоростью v, к ней нужно приложить внешнюю силу уравновешивающую сумму сил приложенных ко всем электронам, содержащимся в перемычке. За счет работы этой силы и будет возникать энергия, выделяемая в контуре индуцированным током.

Рассмотренное нами объяснение возникновения э.д.с. индукции относится к случаю, когда магнитное поле постоянно, а изменяется геометрия контура. Однако магнитный поток через контур может изменяться также за счет изменения В. В этом случае объяснение возникновения э.д. с. оказывается в принципе другим. Изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле Е (подробнее об этом говорится в § 69). Под действием поля Е носители тока в проводнике приходят в движение — возникает индуцированный ток. Связь между э. д. с. индукции и изменениями магнитного потока и в этом случае описывается формулой (61.4).

Пусть контур, в котором индуцируется э. д. с., состоит не из одного витка, а из N витков, например представляет собой соленоид. Поскольку витки соединяются последовательно, будет равна сумме э. д. с., индуцируемых в каждом из витков в отдельности:

Величину

называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Ее измеряют в тех же единицах, что и Ф. Если поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков,

Э. д. с., индуцируемая в сложном контуре, определяется формулой