§ 94. Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, у, z. Периодичность по времени вытекает из того, что описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние К, колеблются одинаковым образом.

Рис. 94.1.

Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания иосят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от Пусть колебания точек, лежащих в плоскости (рис. 94.1), имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х= 0 до этой плоскости, волне требуется время — скорость распространения волны).

Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости т. е. будут иметь вид

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны а определяется выбором начал отсчета При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы а была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись нулю, как правило, не удается.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (94.2), положив

(94.3)

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающеё из него значение дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (94.3), получим

откуда

Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (94.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (94.4) . Следовательно, уравнение (94.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Действительно, приравняв константе фазу волны (94.5) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (94.5) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину

которая называется волновым числом. Умиожив числитель и знаменатель выражения (94.6) на частоту v, можно представить волновое число в виде

(см. формулу (93.2)). Раскрыв в (94.2) круглые скобки и приняв во внимание (94.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (94.8) только знаком при члене

При выводе формулы (94.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волиы не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны С удалением от источника колебаний постепенно уменьшается — наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: с убыванием во времени амплитуды затухающих колебаний; см. формулу (58.7) 1-го тома). Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий вид:

— амплитуда в точках плоскости

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой

(чтобы пройти путь , волне требуется время ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону (см. § 98).

Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

(94.10)

где а — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (94.10) нужно добавить множитель

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (94.10) справедливо только при , значительно превышающих размеры источника. При стремлении к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых г.