§ 112. Отражение и преломление плоской волны на границе двух диэлектриков

Пусть плоская электромагнитная волна падает на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков. Диэлектрик, в котором распространяется падающая волна, характеризуется проницаемостью второй диэлектрик — проницаемостью Магнитные проницаемости полагаем равными единице. Опыт показывает, что в этом случае, кроме распространяющейся во втором диэлектрике плоской преломленной волны, возникает плоская отраженная волна, распространяющаяся в первом диэлектрике.

Определим направление распространения падающей волны с помощью волнового вектора к, отраженной волны — с помощью вектора к и, наконец, преломленной волны — с помощью вектора Найдем, как связаны направления к и к" с направлением к. Это можно сделать, воспользовавшись тем, что на границе двух диэлектриков должно выполняться условие

(112.1)

Здесь — тангенциальные составляющие напряженности электрического поля в первой и второй среде соответственно.

В § 21 мы доказали соотношение (112.1) для электростатических полей (см. формулу (21.4)). Однако его легко распространить и на поля, изменяющиеся со временем. Согласно уравнению (71.1) определяемая выражением (21.2) циркуляция Е в случае переменных полей должна быть равна не нулю, а интегралу взятому по площади контура, изображенного на рис. 21.1:

Поскольку 6 конечно, при предельном переходе интеграл в правой части обращается в нуль, и мы приходим к условию (21.3), из которого следует (21.4).

Пусть вектор к, определяющий направление распространения падающей волны, лежит в плоскости чертежа (рис. 112.1). Направление нормали к поверхности раздела охарактеризуем вектором п. Плоскость, в которой лежат векторы кип, называется плоскостью падения волны. Возьмем линию пересечения плоскости падения с границей раздела диэлектриков в качестве оси х. Ось у направим перпендикулярно к плоскости раздела диэлектриков. Тогда ось z будет перпендикулярна к плоскости падения, а вектор окажется направленным вдоль оси х (см. рис. 112.1).

Рис. 112.1.

Из соображений симметрии ясно, что век торы и могут лежать лишь в плоскость падения (среды однородны и изотропны) Действительно, допустим, что, например, век тор к отклонился от этой плоскости «на нас» Однако нет никаких оснований предпочесп такое отклонение равному ему отклоненик «от нас». Поэтому единственно возможным оказывается направление вектора к, лежащее в плоскости падения. Аналогичные рассуждения справедливы и для вектора Выделим из естественного падающего луча плоскополяризованную составляющую, в которой направление колебаний вектора Е образует с плоскостью падения произвольный угол. Колебания вектора Е в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в направлении вектора к, описываются функцией

(при сделанном нами выборе осей координат проекция вектора к на ось z равна нулю, поэтому в показателе экспоненты отсутствует слагаемое ). За счет выбора начала отсчета t мы сделали начальную фазу волны равной нулю.

Напряженности в отраженной и преломленной волнах определяются аналогичными выражениями:

( — начальные фазы соответствующих волн). Результирующее поле в первой среде равно

Во второй среде

Согласно (112.1) тангенциальные составляющие выражений (112.2) и (112.3) на поверхности раздела, т. е. при , должны быть одинаковыми. Следовательно, мы приходим к соотношению

(112.4)

Для того чтобы условие (112.4) выполнялось при любом t, необходимо равенство всех частот:

(112.5)

Чтобы убедиться в этом, напишем равенство (112.4) в виде

где коэффициенты а, b и с не зависят от t. Написанное нами равенство эквивалентно следующим двум:

Сумма двух гармонических функций будет также гармонической функцией только в том случае, если складываемые функции имеют одинаковые частоты. Получающаяся в результате сложения гармоническая функция имеет ту же частоту, что и складываемые функции. Отсюда следует соотношение (112.5). Таким образом, мы пришли к выводу, что частоты отраженной и преломленной волн совпадают с частотой падающей волны.

Для того чтобы условие (112.4) выполнялось при любом х, необходимо равенство проекций волновых векторов на ось х:

(112.6)

Показанные на рис. 112.1 углы называются углом падения, углом отражения и углом преломления. Из рисунка видно, что Поэтому соотношение (112.6) можно написать в виде

Векторы имеют одинаковый модуль, равный модуль вектора равен Следовательно,

Отсюда вытекает, что

(112.7)

Полученные нами соотношения выполняются для любой плоскополяризованной составляющей естественного луча. Следовательно, они справедливы и для естественного луча в целом.

Соотношение (112.7) выражает закон отражения света, согласно которому отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Соотношение (112.8) выражает закон преломления света, который формулируется следующим образом: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

Фигурирующая в формуле (112.8) величина называется относительным показателем преломления второго вещества по отношению к первому. Представим эту величину в виде

(112.9)

Таким образом, относительный показатель преломления двух веществ равен отношению их абсолютных показателей преломления.

Заменив в формуле (112.8) отношением можно представить закон преломления в виде

(112.10)

Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления и по достижении углом значения

(112.11)

угол становится равным Угол, определяемый формулой (112.11), называется предельным углом.

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от до световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны А, и затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением.

Найдем соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн. Для простоты ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с показателями преломления

Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через а магнитную составляющую через Из соображений симметрии следует, что колебания векторов Е и Е" происходят вдоль того же направления, что и колебания вектора Е. Аналогично колебания векторов происходят вдоль направления вектора Н.

В данном случае нормальные составляющие векторов Е и Н равны нулю. Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими векторами. На рис. 112.2 изображены мгновенные значения векторов Ей Н в падающей, отраженной и преломленной волнах. На рисунке показаны также орты направлений, вдоль которых распространяются соответствующие волны. Рисунок выполнен в предположении, что направления векторов Е и Е" одинаковы, а векторов Е и Е противоположны (в этом случае векторы направлены за чертеж). Действительные соотношения между направлениями векторов определятся расчетом.

Рис. 112.2.

Модули векторов Е и Н связаны соотношением (см. текст, предшествующий формуле (110.8); соотношения, полученные для амплитудных значений Е и Н, справедливы и для их мгновенных значений). Тройка вектора образует правовинтовую систему. С учетом сказанного можно написать, что

(112.12)

(см. рис. 112.2). Аналогичные соотношения имеют место и для векторов в отраженной и преломленной волнах.

Напишем условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов Е и Н (см. формулы (21.4) и (54.6)):

(112.13)

Напомним, что значения векторов берутся в непосредственной близости к границе раздела.

Заменив в (112.14) векторы Н векторами Е в соответствии с формулой (112.12), получим (после сокращения на )

Учтя, что преобразуем последнее соотношение следующим образом:

Отсюда

Поскольку векторы и Е взаимно перпендикулярны, из полученного равенства вытекает, что

(112.15)

Решив совместно уравнения (112.13) и (112.15), получим соотношения

(112.16)

Из формулы (112.17) вытекает, что векторы Е и Е" имеют в каждый момент времени одинаковое направление. Отсюда заключаем, что колебания в падающей и в прошедшей во вторую среду волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе — при прохождении волны через эту границу фаза не претерпевает скачка.

Из формулы (112.16) вытекает, что при направление вектора Е совпадает с направлением вектора Е. Это означает, что колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе — фаза волны при отражении не изменяется. Если же то направление вектора Е противоположно направлению Е. Это означает, что колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в противофазе — фаза волны при отражении изменяется скачком на Полученный результат справедлив и при наклонном падении волны на границу раздела двух прозрачных сред (см. § 135). Отметим, что показанное на рис. 112.2 направление векторов Е, Е' и Е" согласуется с результатом вычислений для случая

Итак, при отражении световой волны от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной (при ) фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на При отражении от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной (при ) такого изменения фазы не происходит.

Подставив в выражение значения (112.16) и (112.17) для Е и придем после несложных преобразований к соотношению

Это соотношение получено для мгновенных значений Е. Аналогичное соотношение имеет место и для амплитудных значений светового вектора:

(112.18)

Согласно (110.9) выражение можно трактовать как величину, пропорциональную интенсивности падающей волны, — как величину, пропорциональную интенсивности Г отраженной волны, — как величину, пропорциональную интенсивности преломленной волны. Таким образом, соотношение (112.18) выражает закон сохранения энергии.

Полученные соотношения позволяют найти коэффициент отражения и коэффициент пропускания световой волны (для случая нормального падения на границу раздела двух прозрачных сред). Действительно, по определению

Подставив в это выражение отношение полученное из (112.16), придем к формуле

где — показатель преломления второй среды по отношению к первой.

Для коэффициента пропускания получается выражение

(112.20)

Легко убедиться в том, что сумма , как и должно быть, равна единице.

Отметим, что замена в формуле (112 19) на обратную ему величину не изменяет значения . Следовательно, коэффициент отражения поверхности раздела двух данных сред для обоих направлений распространения света имеет одинаковое значение.

Показатель преломления стекол близок к 1,5. Подстановка в формулу (112.19) дает Таким образом, каждая поверхность стеклянной пластинки отражает (при падении, близком к нормальному) около 4% упавшей на нее световой энергии.