Дивергенция.

Пусть нам дано поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Возьмем в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис. 11.5). Если в объеме V, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет, очевидно, равен нулю. Отличие потока жидкости от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т. е. точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) либо удаляется из объема (стоки).

Рис. 11.4.

Рис. 11.5.

Величина потока определяет суммарную алгебраическую мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток будет положительным, при преобладании стоков — отрицательным. Отношение потока к объему V, из которого он вытекает:

(11.11)

дает среднюю удельную мощность источников, заключенных в объеме V. В пределе при стремлении V к нулю, т. е. при стягивании объема V к точке Р, выражение (11.11) даст удельную мощность источников в точке Р, которую называют дивергенцией (или расхождением) вектора v (обозначается ). Итак,

Аналогично определяется дивергенция любого вектора а:

(11.12)

Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности S, окружающей точку — объем, ограниченный этой поверхностью.

Окружим точку Р сферической поверхностью крайне малого радиуса (рис. 11.6). Ввиду малости объем V, ограниченный сферой, также будет весьма мал. Поэтому с большой степенью точности можно считать, что значение в пределах объема V являет

Рис. 11.6.

постоянным. В этом случае можно в соответствии с (11.12) записать, что

где — поток вектора а через поверхность, ограничивающую объем V. Согласно (11.10) равен — числу линий вектора а, начинающихся внутри V, если в точке Р положительна, либо — взятому со знаком минус числу линий а, оканчивающихся внутри V, если в точке Р отрицательна. С учетом этого можно написать, что

При приблизительное равенство превращается в точное.

Таким образом, численно равна плотности точек, в которых начинаются линии вектора а (если ), или взятой со знаком минус плотности точек, в которых оканчиваются линии а (если ).

Из определения (11.12) следует, что дивергенция есть скалярная функция координат, определяющих положения точек в пространстве (кратко — функция точки). Определение (11.12) является самым общим, не зависящим от вида координатной системы.

Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, перпендикулярными к координатным осям (рис. 11.7).

Поток вектора через поверхность параллелепипеда образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.

Найдем поток через пару граней, перпендикулярных к оси х (на рис. 11.7 эти грани обозначены косой штриховкой и помечены цифрами и 2). Внешняя нормаль к грани 2 совпадает с направлением оси х. Следовательно, для точек этой грани Внешняя нормаль к грани 1 имеет направление, тивоположное оси х. Поэтому для точек этой грани Поток через грань 2 можно записать в виде

где — значение усредненное по грани 2. Поток через грань равен

где — среднее значение для грани 1. Суммарный поток через грани и 2 определяется выражением

(11.13)

Разность — представляет собой приращение среднего (по грани) значения при смещении вдоль оси х на Ввиду малости параллелепипеда (напомним, что мы будем его размеры стремить к нулю) это приращение можно представить в виде где значение берется в точке Р. Тогда (11 13) переходит в

Путем аналогичных рассуждений можно получить для потоков через пары граней, перпендикулярных к осям у и z, выражения

Таким образом, полный поток через всю замкнутую поверхность определяется выражением

Рис. 11.7.

Разделив это выражение на , найдем дивергенцию вектора а в точке :

Теорема Остроградского—Гаусса. Зная дивергенцию вектора а в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую замкнутую поверхность конечных размеров. Сделаем это сначала для потока вектора v (потока жидкости). Произведение на дает мощность источников жидкости, заключенных в объеме Сумма таких произведений, т. е. дает суммарную алгебраическую мощность источников, заключенных в объеме V, по которому осуществляется интегрирование. Вследствие несжимаемости жидкости суммарная мощность источников должна равняться потоку жидкости, вытекающему наружу через поверхность S, ограничивающую объем V. Таким образом, мы приходим к соотношению

Аналогичное соотношение выполняется для векторного поля любой природы:

(11.15)

Это соотношение носит название теоремы Остроградского — Гаусса. Интеграл в левой части соотношения вычисляется по произвольной замкнутой поверхности S, интеграл в правой части — по объему V, ограниченному этой поверхностью.