§ 97. Скорость упругих волн в твердой среде

Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой (рис. 97.1). Смещения частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 93.3, на котором изображено в функции от х). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение то смещение основания с координатой будет Поэтому рассматриваемый объем деформируется — он получает удлинение — алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение Величина дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодннаковой.

Рис. 97.1.

Рис. 97.2.

Чтобы получить деформацию в сечении х, нужно устремить к нулю. Таким образом,

(символ частной производной взят потому, что зависит не только от х, но и от ).

Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения о, при малых деформациях пропорционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома

(Е — модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформация а следовательно, и напряжение о в фиксированный момент времени зависят от х (рис. 97.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю.

В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим, как уже отмечалось в § 93, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 97.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая очень малым, проекцию ускорения на ось х можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной Масса цилиндра равна где — плотность недеформированной среды. Проекция на ось х силы, действующей на цилиндр, равна произведению плошади основания цилиндра 5 на разность нормальных напряжений в сечениях

Значение производной в сечении можно для малых 6 представить с большой точностью в виде

где под подразумевается значение второй частной производной по х в сечении х.

Ввиду малости величин и Д? произведем в выражении (97.3) преобразование (97.4):

(97.5)

(относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому так что слагаемым в сумме можно пренебречь).

Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим

Наконец, сократив на придем к уравнению

которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда не зависит от у и z. Сопоставление уравнений (96.7) и (97.6) дает, что

Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды.

Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению

где G — модуль сдвига.