9.5. Функция ползучести. Функция релаксации. Интегралы наследственности

Деформация ползучести любого материала (модели), вызванная нагрузкой специального вида может быть записана в виде

Введенная таким образом функция называется функцией ползучести. Например, для обобщенной модели Кельвина (рис. 9.5) функция ползучести определяется в соответствии с (9.19) формулой

где называется податливостью материала. Если число узлов Кельвина неограниченно растет, так что и конечную совокупность постоянных можно заменить непрерывной функцией податливости то функция ползучести для модели

Кельвина принимает вид

Функция называется функцией распределения времен запаздывания или спектром запаздывания.

По аналогии с ползучестью релаксация напряжения для любой модели, подвергающейся деформации вида может быть записана так:

называется функцией релаксации. Для обобщенной модели Максвелла (рис. 9.6) функция релаксации в соответствии с (9.24) определяется как

В этом случае при дискретный набор постоянных заменяется функцией и функция релаксации определяется выражением

Функция называется функцией распределения времен релаксации или спектром релаксации.

В линейной вязкоупругости имеет место принцип суперпозиции, т. е. полный «эффект» от суммы «причин» равен сумме «эффектов» от каждой из «причин».

Рис. 9-9.

В силу этого если к материалу, для которого функция ползучести равна прикладывается напряжение со ступенчатым изменением во времени, как показано на рис. 9.9, а, то деформация ползучести будет вычисляться

по формуле

Тогда произвольный закон изменения напряжения представленный на рис. 9.9, б, можно рассматривать как функцию, состоящую из бесконечного числа ступенек, величина каждой из которых равна Соответствующая деформация ползучести по принципу суперпозиции дается интегралом

Такие интегралы часто называют интегралами наследственности, так как деформация в любой момент времени оказывается зависящей от всей истории изменения напряжений.

Для материала первоначально «мертвого», т. е. полностью свободного от напряжений и деформаций в нулевой момент времени, в формуле (9.33) можно заменить нулем нижний предел интеграла и представить деформаиию ползучести в следующем виде:

Если закон нагружения, кроме того, содержит в себе еще разрыв в виде ступеньки величины в момент то выражение (9.34) обычно записывают следующим образом:

Проводя рассуждения, аналогичные тем, что были выше, по принципу суперпозиции можно представить напряжение как функцию времени интегралом, содержащим указанную историю деформации и функцию релаксации Подобно (9.33), напряжение дается выражением

Для материала, у которого в момент отсутствуют напряжения и деформации, интегралы, аналогичные тем, что были в (9.34) и

(9.35), соответственно будут равны

и

Поскольку для описания характерных вязкоупругих свойств данного материала могут быть использованы в равной мере как интеграл ползучести (9.34), так и интеграл релаксации (9.37), должно существовать некоторое соотношение между функцией ползучести и функцией релаксации Такое соотношение в общем случае получить непросто, но, воспользовавшись преобразованием Лапласа, которое по определению дается интегралом

можно показать, что указанные преобразования функций связаны равенством

где параметр преобразования.