1.17. Матрицы Матричные представления декартовых тензоров

Прямоугольная таблица элементов, заключенная в квадратные скобки и подчиняющаяся определенным правилам обращения с ней, называется матрицей. -матрицей называется матрица, которая имеет (горизонтальных) строк и (вертикальных) столбцов элементов. В символе которым изображают любой элемент матрицы, первый индекс означает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Сама матрица обозначается символом своего типового элемента в квадратных скобках или той же заглавной рукописной буквой, что и элементы матрицы. Например, -матрица или задается таблицей

Если то матрица называется квадратной матрицей порядка Если то получается -матрица; она обозначается и называется матрицей-строкой. Соответственно -матрица обозначается и называется матрицей-столбцом. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Если все диагональные элементы (от до такой матрицы равны единице, то матрица называется единичной. -матрица полученная путем перемены местами строк и столбцов -матрицы называется транспонированной матрицей или транспозицией

Матрицы, имеющие одинаковое число строк и столбцов, можно складывать (или вычитать) поэлементно. Умножение матрицы на скаляр дает матрицу Произведение двух матриц определено только в том случае, когда число столбцов в первом множителе равно числу строк во втором множителе 38. Произведением -матрицы на -матрицу будет -матрица. Умножение матриц обычно обозначается простым написанием их символов один за другим, например

Операция умножения матриц, вообще говоря, некоммутативна;

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Алгебраическим дополнением

элемента квадратной матрицы А называется величина

где минор элемента т. е. определитель квадратной матрицы, остающейся после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент Если каждый элемент матрицы А заменить его алгебраическим дополнением, а затем поменять местами строки и столбцы, то полученная таким образом матрица называется присоединенной (или взаимной) к матрице Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица которая по определению равна присоединенной к А матрице, деленной на определитель матрицы А, т. е.

Из определения обратной матрицы (1.114) следует, что

где 7 — единичная матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. Она называется также тождественной матрицей, так как обладает свойством

Совершенно ясно, что 7 является матричным представлением дельты Кронекера и единичного диадика Матрица А, для которой называется ортогональной. Для ортогональной матрицы А имеет место следующее равенство:

Так как в трехмерном пространстве можно любой тензор второго ранга выразить в девятичленной форме (1.53), а компоненты его записать в виде квадратной таблицы (1.62), оказывается крайне полезным представлять тензоры второго ранга (диадики) квадратными матрицами третьего порядка. Тензор первого ранга (вектор) можно записать либо в виде строки, т. е. -матрицы, либо в виде столбца, т. е. -матрицы. Хотя каждый декартов тензор, ранг которого не выше двух (диадик, вектор, скаляр), можно представить матрицей, не каждая матрица представляет тензор.

Если обе матрицы третьего порядка в произведении представляют тензоры второго ранга в трехмерном пространстве, то операция умножения матриц эквивалентна внутреннему произведению тензоров и в индексной записи выглядит так:

здесь индексы принимают значения 1, 2, 3. Расшифровка формулы (1.118) дает правило умножения матриц по принципу «строка на столбец»: элементы строки первой из перемножаемых матриц умножаются поочередно на элементы столбца второй матрицы, эти произведения суммируются и дают элемент, стоящий на пересечении строки и столбца результирующей матрицы. Некоторые произведения такого рода, часто встречающиеся в механике сплошной среды, приведены здесь для справок и сравнения.

а) Скалярное произведение векторов:

б) Скалярное произведение вектора на тензор второго ранга:

в) Скалярное произведение тензора на вектор