8.4. Пространство напряжений. П-плоскость. Поверхность текучести

Пространство напряжений определяется тем, что в качестве меры расстояний вдоль осей координат берутся величины напряжений. В пространстве главных напряжений (пространстве Хея-Вестергарда), изображенном на рис. 8.4, по осям координат откладываются главные значения тензора напряжений. Каждая точка такого пространства соответствует некоторому напряженному состоянию. Радиус-вектор любой точки может быть разложен на две компоненты: вдоль прямой которая составляет равные углы с осями координат, и в плоскости, перпендикулярной и проходящей через начало координат (эта плоскость известна под названием -плоскости). Компонента вдоль для которой представляет гидростатическое давление, а компонента в -плоскости — девиаторную часть напряжения. Легко показать, что -плоскость имеет уравнение

Рис. 8.4.

В пространстве напряжений условие определяет некоторую поверхность; эта поверхность называется поверхностью текучести. Если принять, что условие пластичности не зависит от гидростатического напряжения всестороннего сжатия, то соответствующие поверхности текучести являются цилиндрами с образующими, параллельными Точки пространства напряжений, которые лежат внутри цилиндрической поверхности текучести, соответствуют упругому напряженному состоянию, а точки, лежащие на поверхности текучести, представляют начальное пластическое напряженное состояние. Пересечение поверхности текучести С -плоскостью называется кривой текучести.

Если посмотреть вдоль прямой в направлении к началу координат — точке О, то станет ясно, что проекции осей координат на -плоскость оказываются расположенными симметрично под углом 120° одна к другой, как показано на рис. 8.5, а. Кривые текучести, соответствующие критериям Треска и Мизеса, изображены на П-плоскости на рис. 8.5, б и 8.5, в. Кривые на рис. 8.5, б соответствуют уравнениям (8.7) и (8.11), и за основу (точку, через которую должна проходить кривая) принято пластическое напряженное состояние при простом растяжении.

Рис. 8.5.

В такой ситуации окружность Мизеса радиуса оказывается описанной около правильного шестиугольника Треска. На рис. 8.5, в обе эти кривые текучести имеют в качестве базиса предельное напряжение текучести при чистом сдвиге. В этом случае окружность Мизеса вписана в шестиугольник Треска.

Положение на -плоскости проекции произвольной точки напряжения находится непосредственным проектированием, так как каждая из осей координат пространства напряжений составляет с -плоскостью угол, косинус которого равен Таким образом, компоненты девиаторной проекции равны от). Решение обратной задачи — определение компонент напряжения для какой-либо точки -плоскости — оказывается не единственным, так как гидростатическая компонента напряжения может принимать какое угодно значение.