Глава 6. Линейная теория упругости
6.1. Обобщенный закон Гука. Функция энергии деформации
В классической линейной теории упругости предполагается, что сами смещгния и их градиенты настолько малы, что можно не делать различия между их лагранжевым и эйлеровым представлениями. В соответствии с этим выражение тензора линейных деформаций через вектор перемещения 
может быть записано в следующих эквивалентных формах:
или
В дальнейшем будем, кроме того, пренебрегать тепловыми эффектами, сопровождающими деформирование, если специально не оговаривается противное.
Для линейного упругого тела определяющие уравнения связывают тензор напряжений и тензор деформаций соотношением
которое называется обобщенным законом Гука. Коэффициенты этого соотношения образуют тензор упругих констант 
который имеет 81 компоненту. Однако вследствие симметрии обоих тензоров — и напряжений и деформаций — различных упругих констант имеется не более 36. При записи закона Гука через эти 36 коэффициентов двойные индексы у компонент тензоров напряжений и деформаций часто заменяют одинарными индексами, которые меняются от 1 до 6. В таких обозначениях
Закон Гука можно записать в виде
где 36 упругих констант обозначены теперь 
а заглавные латинские буквы использованы в качестве индексов для того, чтобы подчеркнуть, что эти индексы меняются от 1 до 6.
Если пренебречь тепловыми эффектами, то уравнение (5.32) примет вид
Внутренняя энергия в этом случае оказывается чисто механической величиной, которая называется энергией деформации (на единицу массы). Из уравнения (6.6) следует, что
Если и считать функцией девяти компонент деформации и — и 
то дифференциал ее равен
Сравнивая (6.7) и (6.8), замечаем, что
Введем функцию и, такую, что
она называется плотностью энергии деформации (на единицу объема). В теории малых деформаций 
в (6.10) можно считать постоянной, поэтому функция и обладает следующим свойством:
Состояние, в котором энергия деформации равна нулю, можно выбрать произвольно. И так как напряжения должны обращаться
в нуль одновременно с деформациями, простейшим видом выражения энергии деформации, обеспечивающим линейную связь между напряжениями и деформациями, является квадратичная форма
Принимая во внимание закон Гука (6.2), это выражение можно записать так:
В обозначениях с одним индексом квадратичная форма (6.12) имеет вид
причем 
Если функция энергии деформации существует, то вследствие симметрии 
число независимых упругих констант будет не более 21.
