9.2. Простейшие механические модели вязкоупругого поведения

Линейную вязкоупругость для одномерного состояния удобно трактовать при помощи механических моделей, которые наглядно демонстрируют поведение различных вязкоупругих материалов. Эти модели строятся из таких механических элементов, как линейноупругая пружина с модулем упругости (массой этой пружины пренебрегают) и вязкий элемент (демпфер! с коэффициентом вязкости (вязкий элемент представляет собой поршень, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью). Как показано на рис. 9.1, сила о, растягивающая пружину, связана с ее удлинением формулой

Подобное же соотношение существует и для демпфера

где Можно придать большую общность этим моделям и устранить размерные эффекты, если в качестве рассматривать напряжение, а в качестве относительную деформацию.

Модель Максвелла вязкоупругого тела является комбинацией пружины и вязкого элемента (демпфера), соединенных последовательно (рис. 9.2,а). Модель Кельвина или Фойхта представляет собой параллельное соединение тех же элементов (рис. 9.2, б).

Рис. 9.1. а — линейный упругий элемент; б - вязкий элемент.

Соотношение между напряжением и деформацией (фактически содержащее также и их скорости) для модели Максвелла дается формулой

а для модели Кельвина формулой

Эти уравнения являются по существу определяющими уравнениями вязкоупругости в одномерном случае.

Рис. 9.2. а — модель Максвелла; б - модель Кельвина.

Полезно написать их в операторной форме, используя линейный оператор дифференцирования по времени Тогда уравнение (9.3) будет иметь вид

а уравнение (9.4) примет форму

где соответствующие операторы выделены скобками.

Простые модели Максвелла и Кельвина не дают точного полного описания поведения реальных сред. Усложненные модели обладают большей гибкостью в отражении процессов в фактических материалах.

Рис. 9.3. а — стандартное линейное твердое тело; б - трехпараметрическая модель вязкой жидкости.

Так, существует трехпараметрическая модель, состоящая из двух упругих и одного вязкого элементов (рис. 9.3,а); она называется стандартным линейным твердым телом. Трехпараметрическая модель вязкой жидкости, состоящая из двух вязких и одного упругого элементов, представлена на рис. 9.3, б. Полезно заметить, что с точки зрения формы записи определяющих уравнений аналогом стандартного линейного твердого тела, соответствующего рис. 9.3, а, является узел Максвелла, параллельно соединенный с упругим элементом, а аналогом модели вязкой жидкости, изображенной на рис. 9.3, б, узел Максвелла, параллельно соединенный с вязким элементом.

Четырехпараметрическая модель, состоящая из двух упругих и двух вязких элементов, может рассматриваться как последовательно соединенные узел Максвелла и узел Кельвина (рис. 9.4).

Рис. 9.4.

Существует несколько эквивалентных форм этой модели. Четырехпараметрическая модель способна описать все три основных типа поведения вязкоупругой среды. Так, она объединяет в себе мгновенную упругую реакцию (за счет свободного упругого элемента вязкое течение (за счет свободного вязкого элемента и, наконец, запаздывающую упругую реакцию (за счет узла Кельвина).

Соотношение между напряжением и деформацией для любой из трех- или четырехпараметрическнх моделей дается общей формулой

где величины представляют собой комбинации коэффициентов и зависят от способа соединения элементов в модели. В операторной форме соотношение (9.7) записывается так: