3.3. Радиус-вектор. Вектор перемещения

На рис. 3.1 изображены недеформированная конфигурация материального континуума в момент и деформированная конфигурация того же самого континуума в более поздний момент времени В проводимом нами исследовании целесообразно

отнести начальную и конечную конфигурации к различным осям координат, как это сделано на рисунке.

Тогда в начальном состоянии характерная частица среды занимает точку пространства и имеет радиус-вектор

относительно ортогональных декартовых координат Здесь в качестве индексов суммирования использованы заглавные буквы; они будут появляться также в некоторых равенствах и в дальнейшем, но их использование в качестве индексов суммирования ограничено этим параграфом.

Рис. 3.1.

В остальной части книги заглавные буквы служат только различительными верхними или нижними индексами. Здесь они применяются для того, чтобы особо подчеркнуть связь некоторых выражений с системой координат пространства начального состояния которые называются материальными координатами. В деформированном состоянии частица, которая сначала была в точке займет положение и будет иметь относительно ортогональных декартовых координат радиус-вектор

Здесь в качестве нижних индексов использованы строчные буквы, чтобы указать на связь с координатами которые дают текущее положение частицы и часто называются пространственными координатами.

Относительная ориентация материальных осей и пространственных осей характеризуется направляющими косинусами и которые определяются скалярными произведениями единичных векторов

Суммирование по индексам в этих выражениях не подразумевается, так как и К — различные индексы. Ввиду того что дельта Кронекера определяется равенствами условия ортогональности пространственных и материальных осей принимают вид

Вектор и, соединяющий точки и на рис. 3.1 (соответственно начальное и конечное положения частицы), называется вектором перемещения. Этот вектор можно записать в виде

или же в виде

где компоненты связаны через направляющие косинусы Согласно (1.89), единичный вектор выражается через материальные базисные векторы 1 следующим образом:

Подставляя (3 7) в (3.5), получаем

откуда

Так как направляющие косинусы — величины постоянные, компоненты вектора перемещения, как видно подчиняются правилу преобразования декартовых тензоров первого ранга, что и следовало ожидать.

Вектор на рис. 3.1 служит для определения положения начала координат о относительно точки очевидно,

В механике сплошной среды очень часто существует возможность совместить системы координат тогда а (3.10) принимает вид

В декартовых компонентах это равенство в общем случае выглядит так:

Однако для совмещенных осей триэдры единичных базисных векторов обеих систем одни и те же, а это ведет к тому, что направляющие косинусы превращаются в дельты Кронекера. Вследствие этого

(3.12) упрощается и сводится к равенству

где в качестве нижних индексов используются только строчные буквы. В остальной части книги, если специально не оговорено противное, материальные и пространственные оси предполагаются совмещенными, и поэтому для индексов будут применяться только строчные буквы.