Главная > Теория и задачи механики сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 4. Движение и течение

4.1. Движение. Течение. Материальная производная

Термины движение и течение используются при описании мгновенного или непрерывного изменения конфигурации сплошной среды. Иногда словом течение называют движение, приводящее к остаточной деформации, как, например, в теории пластичности. Однако при изучении жидкостей это слово означает непрерывное движение. Как было указано в (3.14) и (3.15), движение некоторого объема сплошной среды можно выразить либо в материальных координатах (лагранжево представление):

либо, разрешая эти уравнения, в пространственных координатах (эйлерово представление):

Для существования обратных функций (4.2) необходимо и достаточно, чтобы якобиан

был отличен от нуля. С физической точки зрения лагранжев способ описания фиксирует внимание на индивидуальных частицах континуума, в то время как при эйлеровом подходе интересуются определенной областью пространства, занятой сплошной средой.

Так как (4.1) и (4.2) взаимно, обратны, любое физическое свойство континуума, приписанное индивидуальной частице (в лагранжевом, или материальном, описании), может также быть выражено для определенного места в пространстве, занятого этой частицей (в эйлеровом, или пространственном, описании). Например, если в материальных переменных дана плотность

то пространственное представление ее получается заменой X в этом соотношении функцией из (4.2). Таким образом, в пространственных координатах плотность равна

где символ использован для того, чтобы подчеркнуть, что вид функции в эйлеровом представлении не обязательно тот же, что в лагранжевом.

Скорость изменения со временем любого свойства в индивидуальных частицах движущейся среды называется материальной (или индивидуальной) производной по времени от этой величины. Материальную производную (также называемую субстанциональной или полной производной) можно представить себе как скорость изменения рассматриваемой величины со временем, которая была бы измерена наблюдателем, движущимся вместе с индивидуальной частицей. Мгновенное положение частицы само является свойством этой частицы. Материальная производная по времени от положения частицы есть ее мгновенная скорость. Поэтому, принимая символ или точку над буквой для обозначения операции материального дифференцирования (в некоторых книгах используют символ получаем определение вектора скорости:

Вообще, если любое скалярное, векторное или тензорное свойство континуума, которое можно описать локальной функцией координат, и если в лагранжевом представлении

то индивидуальная производная по времени от этой величины имеет вид

Правую часть (4.8) иногда записывают в форме чтобы подчеркнуть, что координаты X считаются постоянными, т. е. что при вычислении производной имеют дело с одними и теми же частицами. Если некоторое свойство задано функцией в пространственных переменных

то вычисление материальной производной приводит к выражению

где второй член в правой части появляется из-за того, что индивидуальные частицы меняют свое местоположение в пространстве. Первый член в правой части (4.10) характеризует скорость изменения данного свойства в фиксированной точке пространства и соответственно называется локальной (или местной) скоростью изменения. Этот член иногда записывают в виде чтобы подчеркнуть, что считается постоянным при этом

дифференцировании. Второй член в правой части равенства (4.10) называется конвективной скоростью изменения, так как он выражает вклад, обусловленный движением частиц в переменном поле данного свойства.

Принимая во внимание (4.6), для индивидуальной производной можно написать

что сразу наводит на мысль ввести оператор материального дифференцирования по времени

который используется при вычислении индивидуальных производных от величин, записанных в пространственных координатах.

1
Оглавление
email@scask.ru