2.11. Максимальное и минимальное касательное напряжение

Разложим вектор напряжения на ортогональные компоненты — нормальную и касательную к элементу поверхности на котором он действует. Величину нормальной компоненты можно определить по формуле (2.33), а квадрат величины касательной компоненты (напряжения сдвига) получается как разность

Рис. 2.13.

Эта операция продемонстрирована на рис. 2.13, где оси координат выбраны по главным осям тензора напряжений и главные напряжения упорядочены так, что Из (2.12) следует, что компоненты равны

а из (2.33) получается величина нормальной компоненты

Подставляя (2.48) и (2.49) в формулу (2.47), вычислим квадрат величины касательного напряжения как функцию направляющих косинусов

Максимальное и минимальное значения можно получить из (2.50) методом множителей Лагранжа. Процедура состоит в построении функции

где скаляр называется множителем Лагранжа. Равенство (2.51) представляет функцию направляющих косинусов так что условие экстремума (максимума или минимума) величины имеет вид Приравнивая нулю эти частные производные, приходим к уравнениям:

которые вместе с условием можно разрешить относительно и направляющих косинусов соответствующих площадкам экстремальных значений касательного напряжения.

Вот одно из решений системы (2.52) и соответствующее ему касательное напряжение, найденное по формуле (2.50):

Величины касательного напряжения в (2.53), очевидно, являются минимальными. Кроме того, так как (2.53) указывает на то, что эти величины обращаются в нуль на главных площадках, то направления, полученные в (2.53), совпадают с главными осями тензора напряжений.

Другие решения системы (2.52) имеют вид:

Формулы (2.546) дают максимальное значение касательного напряжения, равное полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений. Таким образом, из (2.546) следует, что максимальная компонента касательного напряжения действует в плоскости, которая делит пополам прямой угол между направлениями максимального и минимального главных напряжений.