5.4. Сохранение энергии. Первый закон термодинамики. Уравнение энергии
Если изучаются только механические величины, то закон сохранения механической энергии для объема сплошной среды можно вывести непосредственно из уравнения движения (5.16). Чтобы сделать это, нужно сначала (5.16) скалярно умножить на вектор скорости 
а затем результат проинтегрировать по объему 
Таким образом,
Интеграл
представляет скорость изменения со временем кинетической энергии К объема V сплошной среды. Заметим, что 
и, согласно (4.19), 
если еще учесть, что 
то уравнение (5.22) можно записать в виде
Наконец, преобразуя (по теореме Гаусса-Остроградского) первый интеграл в правой части (5.24) в интеграл по поверхности и используя тождество 
получаем уравнение механической энергии для сплошной среды
Оно устанавливает связь между скоростью изменения полной механической энергии континуума, стоящей слева, и мощностью
(работой за единицу времени) поверхностных и массовых сил, которая стоит в правой части уравнения. Интеграл в левой части называется скоростью изменения внутренней механической энергии (эта величина со знаком минус называется также работой внутренних поверхностных сил в единицу времени). Тогда (5.25) можно записать короче:
где 
соответственно мощность внутренних и внешних сил, а символ 
указывает, что соответствующее приращение в общем случае не является точным дифференциалом какой-либо функции.
Если, кроме механической, следует учитывать и другие виды энергии, то закон сохранения энергии должен использоваться в самой общей своей форме. В такой форме этот закон утверждает, что скорость изменения со временем кинетической плюс внутренней энергии равна сумме механической работы внешних сил, совершаемой в единицу времени, и притока прочих видов энергии за единицу времени. Приток энергии может включать в себя тепловую, химическую, электромагнитную энергию и т. д. В дальнейшем будем рассматривать только механическую и тепловую энергии, а уравнением энергии будет знаменитый первый закон термодинамики.
Для термомеханического континуума скорость изменения внутренней энергии 
обычно представляют интегралом
где и называют удельной внутренней энергией. (Символ и для удельной внутренней энергии столь прочно установился в литературе, что и мы будем пользоваться им в уравнении энергии этой главы; вероятность же того, что он будет спутан с символом абсолютной величины вектора перемещения и, очень мала.) Пусть вектор с? характеризует поток тепла через единицу площади в единицу времени за счет теплопроводности, и пусть 
постоянная теплового излучения на единицу массы в единицу времени. Тогда скорость притока тепла к среде выражается суммой
Закон изменения энергии термомеханического континуума записывается уравнением
или (при представлении всех величин интегралами)
Преобразуя здесь интегралы по поверхности в интегралы по объему (теорема Гаусса-Остроградского) и снова используя произвольность объема V, приходим к локальной форме уравнения энергии:
или
Внутри произвольного малого элемента объема, для которого справедливо локальное уравнение энергии (5.31), должно также быть выполнено и уравнение количества движения (5.16). Возьмем скалярное произведение уравнения (5.16) и вектора скорости: 
проделаем с ним некоторые простые преобразования, а затем вычтем его из (5.31). В результате получим более короткую, но крайне полезною форму записи локального уравнення энергии
Это уравнение утверждает, что скорость изменения внутренней энергии равна сумме мощности напряжений плюс приток тепла к среде.
