3.12. Свойства преобразований тензоров деформаций

Все тензоры деформаций определенные соответственно формулами (3.37), (3.39), являются декартовыми тензорами второго ранга.

Рис. 3.6

В соответствии с этим для совокупности повернутых осей имеющих матрицу преобразования относительно совокупности локальных осей без штрихов в точке (рис. 3.6, а), компоненты выражаются формулами

Точно так же для повернутых осей имеющих матрицу преобразования относительно осей без штрихов (рис. 3.6, б), компоненты имеют вид

и

По аналогии с поверхностью напряжений, описанной в § 2.9, можно ввести лагранжеву и эйлерову поверхности линейных деформаций (квадрики деформаций) относительно локальных декартовых координат и в точках и соответственно (рис. 3.7).

Рис. 3.7.

Так, уравнение лагранжевой поверхности деформаций имеет вид

а уравнение эйлеровой поверхности деформаций — вид

Существуют два следующих важных свойства лагранжевой (эйлеровой} поверхности линейных деформаций.

1. Коэффициент удлинения вдоль некоторого луча, отнесенный к начальной (конечной} длине линейного элемента, обратно пропорционален квадрату расстояния от центра поверхности деформаций до точки на этой поверхности.

2. Относительное перемещение соседней частицы, расположенной в точке параллельно нормали к поверхности деформаций в точке ее пересечения с линией

Следующим шагом в изучении природы локальных деформаций в окрестности точки является определение эллипсоида деформаций в этой точке. Для этого возьмем в недеформированной среде материальный объем, ограниченный поверхностью в виде бесконечно малой

сферы радиуса Уравнение этой поверхности в материальных координатах в соответствии с формулой (3.28) будет

После деформации уравнение поверхности того же самого материального объема при использовании формулы (3.30) оказывается таким:

и определяет эллипсоид, известный как материальный эллипсоид деформаций. Сферический в недеформированном состоянии объем сплошной среды превращается при деформации в эллипсоид с центром в точке Подобным же образом заключаем, что бесконечно малый сферический объем в точке деформированной среды в недеформированном начальном состоянии был эллипсоидальным. Уравнения этих поверхностей в локальных координатах получаются при помощи формулы (3.32) для сферы в виде

и при помощи формулы (3.34) для эллипсоида в виде

Эллипсоид (3.84) называется пространственным эллипсоидом деформаций. Такие эллипсоиды, как описаны здесь, часто называются эллипсоидами деформации Коши.