Точно так же для повернутых осей
имеющих матрицу преобразования
относительно осей без штрихов (рис. 3.6, б), компоненты
имеют вид
и
По аналогии с поверхностью напряжений, описанной в § 2.9, можно ввести лагранжеву и эйлерову поверхности линейных деформаций (квадрики деформаций) относительно локальных декартовых координат
и
в точках
и
соответственно (рис. 3.7).
Рис. 3.7.
Так, уравнение лагранжевой поверхности деформаций имеет вид
а уравнение эйлеровой поверхности деформаций — вид
Существуют два следующих важных свойства лагранжевой (эйлеровой} поверхности линейных деформаций.
1. Коэффициент удлинения вдоль некоторого луча, отнесенный к начальной (конечной} длине линейного элемента, обратно пропорционален квадрату расстояния от центра поверхности деформаций
до точки на этой поверхности.
2. Относительное перемещение соседней частицы, расположенной в точке
параллельно нормали к поверхности деформаций в точке ее пересечения с линией
Следующим шагом в изучении природы локальных деформаций в окрестности точки
является определение эллипсоида деформаций в этой точке. Для этого возьмем в недеформированной среде материальный объем, ограниченный поверхностью в виде бесконечно малой
сферы радиуса
Уравнение этой поверхности в материальных координатах в соответствии с формулой (3.28) будет
После деформации уравнение поверхности того же самого материального объема при использовании формулы (3.30) оказывается таким:
и определяет эллипсоид, известный как материальный эллипсоид деформаций. Сферический в недеформированном состоянии объем сплошной среды превращается при деформации в эллипсоид с центром в точке
Подобным же образом заключаем, что бесконечно малый сферический объем в точке
деформированной среды в недеформированном начальном состоянии был эллипсоидальным. Уравнения этих поверхностей в локальных координатах получаются при помощи формулы (3.32) для сферы в виде
и при помощи формулы (3.34) для эллипсоида в виде
Эллипсоид (3.84) называется пространственным эллипсоидом деформаций. Такие эллипсоиды, как описаны здесь, часто называются эллипсоидами деформации Коши.