3.13. Главные деформации. Инварианты деформации. Кубическое расширение
Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в § 1.19. С физической точки зрения главное направление тензора деформаций — это такое, для которого ориентация элемента в данной точке не меняется при чистой деформации. Главное значение деформации есть просто приходящееся на единицу длины относительное перемещение (коэффициент относительного удлинения) вдоль главного направления.
Для лагранжева тензора деформаций 
вектор относительного перемещения на единицу длины дан формулой (3.47), которую можно представить еще и так:
Обозначим через 
величины 
для линейного элемента в направлении единичного вектора 
Для чистой деформации 
из (3.85) следует
Если направление 
главное, 
соответствующее главное значение тензора 
то
Приравнивая правые части (3.86) и (3.87), приходим к соотношению
которое вместе с условием 
на единичные векторы 
дает необходимые уравнения для определения главного значения деформации I и направляющих косинусов 
соответствующего главного направления. Нетривиальные решения системы (3.88) существуют тогда и только тогда, когда определитель из коэффициентов обращается в нуль, т. е.
что после раскрытия определителя приводит к характеристическому уравнению для тензора 
Это кубическое уравнение
где
— соответственно первый, второй и третий лагранжевы инварианты деформации. Корни уравнения (3.90) являются главными значениями деформации и обозначаются 
Первый инвариант лагранжева тензора деформаций является суммой главных деформаций
и имеет важный физический смысл. Чтобы обнаружить это, рассмотрим элементарный прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны главным направлениям деформации (рис. 3.8). Изменение объема на единицу первоначального объема этого элемента называется коэффициентом кубического расширения и по определению равно
В теории малых деформаций это соотношение в первом приближении дает интересующую нас сумму
Что касается эйлерова тензора деформаций 
и соответствующего вектора относительного перемещения 
главные направления и главные деформации 
определяются точно так же, как их лагранжевы аналоги.
Рис. 3.8.
Эйлеровы инварианты деформации выражаются через главные деформации следующим образом:
Для кубического расширения в эйлеровом описании при малых деформациях получается
