или же тензором преобразования
Из такого определения 
следует, что единичный вектор 
оси 
в соответствии с формулой (1.48) и соглашением о суммировании представляется выражением
Ясно, что, обобщая это равенство, любой базисный вектор можно записать в виде
Рис. 1.9.
Произвольный вектор 
изображенный на рис. 1.9, можно выразить через его компоненты в системе без штрихов:
и в системе со штрихами:
Заменяя 
в сумме (1.91) эквивалентным выражением (1.89), получаем
Сравнивая формулы (1.92) и (1.90), обнаруживаем, что компоненты вектора в исходной и преобразованнол системах связаны соотношением
Это равенство дает закон преобразования декартовых тензоров первого ранга. Как видно, он является частным случаем общих законов преобразования тензоров первого ранга, которые были представлены формулами (1.80) и (1.77). Меняя ролями в предыдущих рассуждениях базисные векторы со штрихами и без штрихов, получаем соотношение, обратное (1.93):
Нужно заметить, что в формуле (1.93) 
свободным был второй индекс, а в выражении (1.94) свободный индекс является первым.
Выбрав надлежащим образом немые индексы и объединив (1.93) и (1.94), можно написать
Так как вектор 
является произвольным, то это уравнение должно сводиться к тождеству 
Поэтому коэффициент щсикъ значение которого зависит от индексов 
должен равняться либо 1, либо 
в зависимости от того, одинаковые или различные численные значения принимают 
Для представления величин такого типа, как 
можно пользоваться дельтой Кронекера, которая определяется следующим образом:
С помощью дельты Кронекера условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (1.95), можно записать следующим образом:
В развернутом виде соотношение (1.97) состоитлз девяти равенств, которые называются условиями ортогональности, или ортонормированности. Это условий, наложенные на направляющие косинусы 
соотношения (1.93) и (1.94) можно скомбинировать иначе и получить равенство 
что дает другую форму условий ортогональности:
Линейные преобразования типа (1.93) или (1.94), коэффициенты которых удовлетворяют условиям ортогональности (1.97) или (1.98), называются ортогональными преобразованиями. Поворот осей координат и отражение их относительно какой-либо координатной плоскости являются ортогональными преобразованиями.
Дельту Кронекера иногда называют оператором замены, потому что она дает, например, следующие преобразования:
или
В силу этого свойства ясно, что дельта Кронекера является аналогом в индексных обозначениях единичного тензора второго ранга I, определенного формулой (1.54).
В соответствии с правилом преобразования векторов (1.94) диада 
в системе координат со штрихами имеет компоненты
Естественным обобщением формулы (1.101) будет правило преобразования любого декартова тензора второго ранга
Используя условия ортогональности, легко найдем соотношение, обратное (1.102) и дающее правило перехода от компонент в системе со штрихами к компонентам в системе без штрихов. Оно выражается формулой
Законы преобразования декартовых тензоров первого и второго рангов обобщаются для декартовых тензоров ранга 
— две ортогональные декартовы системы координат с общим началом в произвольной точке О (рис. 1.9). Можно считать, что система со штрихами получена из системы без штрихов поворотом осей около начала координат или отражением осей относительно одной из координатных плоскостей, или, может быть, комбинацией того и другого. Если символом а? обозначен косинус угла между 
осью системы со штрихами и 
осью системы без штрихов, т. е. 
то ориентацию какой-либо оси каждой системы относительно другой системы удобно" задавать таблицей
