2.12. Круги Мора для напряжения

Удобное двумерное графическое представление трехмерного напряженного состояния в точке дают известные круги Мора. Для того чтобы разъяснить это понятие, снова возьмем в качестве осей координат главные оси тензора напряжений в точке как показано на рис. 2.14. Предполагается, что все главные напряжения различны и упорядочены, так что

Рис. 2.14.

При таких условиях вектор напряжения имеет нормальную и касательную компоненты, величины которых удовлетворяют соотношениям

Комбинируя эти два равенства с тождеством и разрешая относительно направляющих косинусов получаем

На этих равенствах основывается построение кругов Мора на плоскости напряжений, где ось является осью абсцисс, а ось осью ординат (рис. 2.15).

Так как из (2.55) следует, что а величина неотрицательна, то числитель в правой части (2.58а)

удовлетворяет соотношению

которое в плоскости напряжений представляет точки, лежащие вне круга

и на его границе. На рис. 2.15 этот круг обозначен буквой

Рис. 2.15.

Точно так же из (2.55) следует, что кроме того, величина неотрицательна. Тогда в формуле (2.586) числитель в правой части удовлетворяет неравенству

которое представляет точки внутри круга

обозначенного на рис. 2.15 буквой и на его границе. Наконец, из (2.55) видно, что а величина неотрицательна, поэтому из формулы (2.58в) следует неравенство

которое представляет точки вне круга

обозначенного на рис. 2.15 буквой и на его границе.

Каждая «точка напряжения» (пара величин на плоскости напряжений соответствует вектору напряжения а напряженное состояние в точке описанное формулами (2.58), можно представить на рис. 2.15 затененной областью, ограниченной кругами Мора для напряжения. Это построение подтверждает, что максимальное напряжение сдвига равно как

было установлено анали нческн в § 2.11. Вследствие того что знак напряжения сдвига не имеет принципиального значения, часто изображают только верхнюю половину симметричной диаграммы.

Связь между диаграммой напряжений Мора и физическим напряженным состоянием может быть установлена при помощи рис. 2.16, на котором изображен первый октант сферы с центром в точке сплошной среды.

Рис. 2.16.

Нормаль к сферической поверхности в произвольной точке одновременно является нормалью к элементу поверхности в точке Из-за симметрии тензора напряжения и из-за того, что на рис. 2.16 использованы главные оси тензора напряжений, напряженное состояние в точке полностью характеризуется совокупностью тех положений, которые может занимать точка на поверхности На рисунке круговые дуги и указывают такие положения где один направляющий косинус из имеет постоянную величину, а именно

а на граничных дугах и

В соответствии с первым из этих равенств и уравнением (2.58а) векторы напряжения для точек лежащих на будут иметь

компоненты, определяемые точками напряжения на круге Подобным же образом на рис. 2.16 соответствует кругу на рис. 2.15, а кругу

Компоненты вектора напряжения для произвольного положения можно определить при помощи построения, выполненного на рис. 2.17. Так, положение точки на можно получить, проводя радиусы из центра под углом

Рис. 2.17.

Заметим, что углы в физическом пространстве (рис. 2.16) при переходе в пространство напряжений (рис. 2.17) удваиваются (дуга на рис. 2.16 содержит 90°, а соответствующие точки напряжения отстоят друг от друга на круге на 180°). Аналогичным образом на рис. 2.17 получены точки и соответствующие пары соединены круговыми дугами, имеющими центры на оси Точка пересечения круговых дуг дает компоненты вектора напряжения на площадке с нормалью в точке на рис. 2.16.