8.6. Соотношения между напряжениями и деформациями в пластическом состоянии. Теория пластического потенциала

Как только возникают пластические деформации, определяющие уравнения теории упругости перестают быть верными. В силу того что пластические деформации зависят от всей истории нагружения материала, в теории пластичности соотношения между напряжением и деформацией очень часто формулируют через приращения деформации. Это так называемые инкрементальные теории, или теории течения. Например, уравнения Леви — Мизеса, при записи которых пренебрегают упругой частью деформации и предполагают, что главные оси тензоров приращений деформации и напряжений совпадают, связывают приращения полной деформации с компонентами девиатора напряжений следующим образом:

Здесь коэффициент пропорциональности дается в дифферент циальной форме, чтобы подчеркнуть, что приращения деформации связаны с конечными компонентами напряжений. Множитель может меняться в процессе нагружения и является поэтому скалярной функцией, а не фиксированной постоянной. Соотношения (8.19) представляют закон течения для жестко-идеально-пластического материала.

Разложив приращения деформации на упругую и пластическую части:

и связав приращения пластической деформации с компонентами девиатора напряжений:

мы приходим к уравнениям Прандтля-Рейсса. Формулы (8.21) представляют закон течения упруго-идеально-пластического материала. Они устанавливают связь между приращениями пластической деформации и девиатором текущих напряжений, но не дают самих величин приращений деформации.

Функцию компонент напряжения которая обладает следующим свойством:

называют пластическим потенциалом. Для так называемого устойчиво пластического материала такая функция существует и тождественно совпадает с функцией текучести. Если к тому же функция текучести взята в виде то равенства (8.22) превращаются в уравнения Прандгля — Рейсса.