1.11. Преобразование координат. Общее понятие тензора

Пусть произвольная система координат в трехмерном евклидовом пространстве и любая другая система координат в том же пространстве. Здесь цифры, написанные сверху, являются индексами, а не показателями степени, степени можно записывать при помощи скобок, например так: или

Итак, цифры (или буквы), написанные сверху, как только что было указано, служат индексами. Формулы преобразования координат

определяют для любой точки системы новый набор ее координат в системе Относительно функций связывающих две совокупности переменных величин (координат), предполагается, что они однозначные, непрерывные и дифференцируемые. Определитель

или в компактной форме

называется якобианом преобразования. Если якобиан не обращается в нуль, то уравнения (1-72) можно локально единственным образом разрешить относительно

Системы координат и использованные при написании (1.72) и самые общие: они могут быть любыми криволинейными или декартовыми.

Из (1.72) найдем компоненты дифференциала

Это равенство определяет класс тензоров, называемых контравариантными векторами. В общем случае величины связанные с точкой представляют компоненты контравариантного тензора первого ранга, если при преобразовании координат эти величины преобразуются закону

причем частные производные вычислены в точке являются компонентами тензора в системе координат его компонентами в системе В общей теории тензоров для обозначения контравариантных тензоров используют верхние индексы. Это делается по той причине, что для координаты обозначение предпочтительнее, чем однако нужно заметить, что тензорный характер имеют только дифференциалы но не сами координаты.

Естественное обобщение правила (1.77) приводит к определению контравариантного тензора второго ранга, компоненты которого подчиняются правилу преобразования

Контравариантные тензоры третьего, четвертого и более высокого порядков определяются аналогичным образом.

Слово «контравариантный» использовано выше, чтобы отличить эти тензоры от тензоров другого типа, называемых ковариантными. В общей теории для изображения ковариантных тензоров используются нижние индексы. Типичный ковариантный вектор образуют частные производные от скалярной функции по координатам.

Действительно, если такая функция, то

В общем случае величины называются компонентами ковариантного тензора первого ранга, если они преобразуются по правилу

Здесь являются ковариантными компонентами вектора в системе компонентами в системе Ковариантные тензоры второго ранга подчиняются закону преобразования

Ковариантные тензоры более высокого порядка и смешанные тензоры, например

определяются очевидным образом.