8.3. Условия пластичности. Критерии Треска и Мизеса
Условие (или критерий) пластичности является важным обобщением на трехмерное напряженное состояние понятия предела текучести для одноосного растяжения. С математической точки зрения условие пластичности представляет собой соотношение между компонентами напряжений в точке, которое должно быть выполнено, когда в этой точке начинается пластическое поведение 
. В общем случае условие пластичности можно записать уравнением
где 
постоянная текучести. Иногда это условие задают уравнением
в котором 
называется функцией текучести.
Для изотропного материала условие пластичности не должно зависеть от направлений и поэтому может быть выражено в виде функции инвариантов напряжения, или, что все равно, в виде симметричной функции главных напряжений. Тогда равенство (8.3) можно представить следующим образом:
Кроме того, эксперименты показывают, что для многих сред (в частности, для металлов) напряжение всестороннего сжатия не вызывает пластических деформаций. Поэтому обычно считают, что в условии пластичности фигурирует функция инвариантов девиатора напряжений
Из многочисленных условий пластичности, которые были предложены, два приемлемо просты математически и в то же время достаточно точны, чтобы быть весьма полезными при изучении начальной стадии пластичности изотропных материалов. Это условия (критерии) Треска и Мизеса.
1. Критерий текучести Треска (теория максимального касательного напряжения).
Согласно этому критерию, пластическое поведение начинается тогда, когда максимальное касательное напряжение достигает заданной величины 
Проще всего критерий Треска записывается в главных напряжениях. Так, при 
критерий Треска в соответствии с формулой (2.546) выглядит так:
Чтобы установить связь между постоянной текучести 
и пределом текучести при простом растяжении 
найдем максимальное касательное напряжение при простом растяжении в условиях пластичности (например, при помощи кругов Мора; рис. 8.3,а).
Рис. 8.3. а — простое растяжение; б - чистый сдвиг.
Оно оказывается равным 
Поэтому критерий Треска выражается через предел текучести при простом растяжении следующим образом:
С той же целью установления величины постоянной 
можно использовать предел текучести в процессе, который называют чистым сдвигом. Так, если предел текучести при чистом сдвиге равен 
то величина постоянной 
равна 
(этот результат опять сразу получается из кругов Мора на рис. 8.3, б) и критерий Треска записывается равенством
2. Критерий текучести Мизеса (теория энергии искажения формы)
Согласно этому критерию, пластическое поведение начинается тогда, когда второй инвариант девиатора напряжений достигает некоторого критического значения. Математически критерий Мизеса записывается так:
или через главные напряжения так:
Рассматривая простое растяжение, легко показать, что (8.11) можно записать в виде
Критерий Мизеса (8.11) также можно записать и через величину 
предел текучести при чистом сдвиге:
Существует несколько вариантов представления соотношений (8.12) и (8.13), когда используются другие компоненты напряжения, отличные от главных.
