8.11. Элементарная теория линий скольжения при плоской пластической деформации
В неограниченном пластическом течении, например при прокатке металла, часто допустимо пренебрегать упругими деформациями и рассматривать материал как жестко-идеально-пластическую среду. Если течение в дальнейшем можно предполагать таким, как в случае плоской деформации, то получающееся поле скоростей можно изучать, пользуясь теорией линий скольжения. Пусть 
плоскость течения; тогда
и, так как упругими деформациями мы пренебрегаем, тензор скоростей пластической деформации будет равен
Неизвестные в выражениях (8.41) и (8.42) являются функциями только 
Кроме того, известно; что
где 
компоненты скорости.
При предполагаемых условиях плоской деформации имеем 
Тогда из уравнений Прандтля — Рейсса (8.21) для напряжения 
получим формулу
Используя обычные обозначения теории линир скольжения 
находим главные значения тензора напряжений (8.41):
Положение главных направлений тензора напряжений относительно осей хгхг показано на рис. 8.8, где 
Направления площадок максимальных касательных напряжений (см. § 2.11) образуют углы в 45° с главными осями тензора напряжений. На рис. 8.8 соответствующие направления помечены буквами 
и 
Из этого построения видно,что 
и, следовательно,
Рис. 8.8.
Для данного поля напряжений при пластическом течении можно ввести в рассмотрение два семейства кривых, в каждой точке идущих вдоль направлений максимальных касательных напряжений. Эти кривые называются линиями сдвига или линиями скольжения (в дальнейшем мы будем называть их также 
-линиями и 
-линиями).
Рассматривая малый элемент, ограниченный двумя парами линий скольжения и изображенный на рис. 8.9, получим
Используя уравнения равновесия, можно показать, что
Что касается компонент скорости, то рис. 8.10 показывает, как они связаны с положением 
и 
-линий:
Для изотропной среды в теориях течения главные оси тензоров напряжений и скоростей пластической деформации совпадают.
Рис. 8.9.
Рис. 8.10.
Поэтому если 
направления линий скольжения, то 
равны нулю вдоль этих линий, так что
Отсюда получаются соотношения
Итак, для статически определимых задач поле линий скольжения находится из (8.48); затем, используя это поле и соотношения (8.52) и (8.53), можно построить поле скоростей.
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
(см. скан)
