1.16. Векторное произведение. Тензор Леви-Чивиты. Бивектор
Чтобы записать векторное произведение
в индексных обозначениях, удобно ввести тензор третьего ранга
известный как тензор Леви-Чивиты (альтернирующий тензор). Этот часто используемый тензор определяется следующим образом:
С помощью этого тензора векторное произведение
представляется в индексной записи так:
Так же можно представить и смешанное произведение
Это же смешанное произведение формулой (1.52) задано в виде определителя, поэтому не удивительно, что тензор Леви-Чивиты часто используют и для выражения величины определителя третьего порядка.
Заслуживает внимания то обстоятельство, что
подчиняется правилу преобразования декартовых тензоров третьего ранга только в случае таких преобразований, у которых
(например, при повороте осей). Если же преобразование таково, что
(например, преобразование отражения относительно одной из координатных плоскостей, в результате чего правая система координат превращается в левую), то формулу преобразования
следует писать со знаком минус. Такие тензоры называются псевдотензорами.
Объект, определяемый равенством
называется бивектором произвольного декартова тензора второго ранга
и является аналогом в индексных обозначениях вектора
диадика
который был определен формулой (1.15).