2.7. Равновесие сил и моментов. Симметрия тензора напряжений

Для равновесия произвольного объема V сплошной среды под действием системы поверхностных сил и массовых сил (включая силы инерции, если они существуют), изображенных на рис. 2.8, требуется, чтобы результирующие сила и момент, действующие на этот объем, были равны нулю.

Рис. 2.8.

Суммирование поверхностных и массовых сил приводит к интегральному соотношению

или

Заменяя здесь через и переходя от интеграла по поверхности к интегралу по объему при помощи теоремы Гаусса — Остроградского (1.157), приводим уравнение (2.16) к виду

Поскольку объем V произволен, подинтегральное выражение в формуле (2.17) должно обратиться в нуль, так что

Эти уравнения называются уравнениями равновесия.

При отсутствии распределенных моментов (поверхностных и массовых пар) для равновесия моментов относительно начала отсчета требуется, чтобы

или

где радиус-вектор элемента поверхности или объема. Снова совершив подстановку применив теорему Гаусса—Остроградского и использовав результат, полученный в (2.18), объединим интегралы в (2.19) и придем к уравнению

В силу произвольности объема V из (2.20) следует, что

Формула (2.21) содержит в себе равенства или

которые показывают, что текзор напряжений симметричен. Учитывая (2.22), уравнения равновесия (2.18) часто пишут в виде

что в развернутой форме выглядит так: